Reaktionsordnung / Halbwertszeit
Kinetischer Hintergrund
Die Reaktionsordnung bestimmt die mathematische Form der Konzentrationsabnahme. Dadurch ändert sich auch die Halbwertszeit erheblich.
\[ -\frac{dc}{dt}=k\,c^n \]
Nur bei Reaktionen 1. Ordnung ist die Halbwertszeit unabhängig von der Startkonzentration. Bei 0. und 2. Ordnung hängt \(t_{1/2}\) direkt von \(c_0\) ab.
- Kinetikauswertung aus Konzentrations-Zeit-Daten
- Planung von Reaktionszeiten im Labor
- Stabilitätsabschätzung von Wirkstoffen und Proben
Formeln (MathJax)
\[ t_{1/2}^{(0)}=\frac{c_0}{2k},\quad t_{1/2}^{(1)}=\frac{\ln 2}{k},\quad t_{1/2}^{(2)}=\frac{1}{k\,c_0} \]
\[ c(t)_{(0)}=c_0-k t,\quad c(t)_{(1)}=c_0 e^{-kt},\quad c(t)_{(2)}=\frac{c_0}{1+k c_0 t} \]
\[ k_{(1)}=\frac{\ln 2}{t_{1/2}},\quad k_{(0)}=\frac{c_0}{2t_{1/2}},\quad k_{(2)}=\frac{1}{c_0 t_{1/2}} \]
Allgemeine Symbole
- \(v\) = Reaktionsgeschwindigkeit
- \(k\) = Geschwindigkeitskonstante
- \([A]\) = Konzentration des Stoffes A zu einem beliebigen Zeitpunkt
- \([A]_0\) = Anfangskonzentration des Stoffes A
- \( t_{1/2}\) = Halbwertszeit (Zeit, bis die Konzentration auf die Hälfte des Anfangswerts abgesunken ist)
- \(ln 2\) = natürlicher Logarithmus von 2 ≈ 0,693
Ausführliche Beispiele
Beispiel 1 (1. Ordnung):
k = 0,15 min⁻¹
\(t_{1/2}=\ln(2)/0{,}15=4{,}62\,\text{min}\)
k = 0,15 min⁻¹
\(t_{1/2}=\ln(2)/0{,}15=4{,}62\,\text{min}\)
Beispiel 2 (0. Ordnung):
\(c_0=1{,}2\), \(k=0{,}08\)
\(t_{1/2}=1{,}2/(2\cdot0{,}08)=7{,}5\)
\(c_0=1{,}2\), \(k=0{,}08\)
\(t_{1/2}=1{,}2/(2\cdot0{,}08)=7{,}5\)
Beispiel 3 (2. Ordnung):
\(c_0=1{,}0\), \(k=0{,}25\)
\(t_{1/2}=1/(0{,}25\cdot1{,}0)=4\)
\(c_0=1{,}0\), \(k=0{,}25\)
\(t_{1/2}=1/(0{,}25\cdot1{,}0)=4\)
Interpretation:
Bei 2. Ordnung wird \(t_{1/2}\) bei kleinerem \(c_0\) größer; bei 0. Ordnung kleiner. Nur 1. Ordnung bleibt konstant.
Bei 2. Ordnung wird \(t_{1/2}\) bei kleinerem \(c_0\) größer; bei 0. Ordnung kleiner. Nur 1. Ordnung bleibt konstant.
Vertiefung und Praxis
Wie erkennt man die Ordnung experimentell?
Typisch über Linearplots: \(c\) gegen \(t\) (0. Ordnung), \(\ln c\) gegen \(t\) (1. Ordnung), \(1/c\) gegen \(t\) (2. Ordnung). Die beste Linearität zeigt die passende Ordnung.
Warum ist das wichtig?
Die richtige Reaktionsordnung ist entscheidend für Scale-up, Haltbarkeitsprognosen und Dosierungsmodelle. Schon kleine Fehler in \(n\) oder \(k\) können große Laufzeitfehler verursachen.
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