Winkel zwischen zwei Geraden berechnen, Rechner und Formel

Es wird der Winkel zwischen zwei Geraden im Koordinaten System berechnet. Geben sie dazu die X/Y Koordinaten der beiden Geraden an. Es spielt keine Rolle, welcher Punkt der Erste und welcher der Zweite ist. Das Ergebnis wird das Gleiche sein.

Winkel zweier Geraden

Position der 1. Geraden

Punkt A (x, y)

Punkt B (x, y)

Position der 2. Geraden

Punkt C (x, y)

Punkt D (x, y)

Dezimalstellen

Resultat

Winkel α

Bild 1

Formeln zum Winkel zwischen zwei Geraden

Der Winkel zwischen zwei Geraden kann per Vektorrechnung, oder über die Winkel zur X-Achse ermittelt werden.

Berechnung der Winkel zur X-Achse

Den Winkel zweier Linien im Koordinatensystem kann berechnet werden indem man die Winkel der beiden Geraden zur X-Achse berechnet und dann die Winkel addiert oder voneinander subtrahiert.

Der Winkel einer Geraden zur X-Achse berechnet sich nach der folgenden Formel:

\(\displaystyle α = asin\left( \frac{y_2-y_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 }} \right)\)

Beispiel

Winkel α zwischen der X-Achse und der ersten Geraden von

Punkt \(\displaystyle A\left(\matrix{x_1\\y_1} \right)\) zu \(\displaystyle B\left(\matrix{x_2\\y_2}\right)\) = \(\displaystyle A\left(\matrix{-1\\-2} \right)\) zu \(\displaystyle B\left(\matrix{4\\5}\right)\)

\(\displaystyle α_{AB} \)	\(\displaystyle = asin\left( \frac{5-(-2)}{\sqrt{(4-(-1))^2+(5-(-2))^2 }} \right)\)
	\(\displaystyle =asin\left( \frac{7}{\sqrt{5^2+7^2 }} \right) =asin\left( \frac{7}{\sqrt{74}} \right)\)
	\(\displaystyle =asin\left( \frac{7}{8.6} \right) =asin(0.8137) =54.46°\)

Winkel α zwischen der X-Achse und der zweiten Geraden von

Punkt \(\displaystyle C\left(\matrix{x_1\\y_1} \right)\) zu \(\displaystyle D\left(\matrix{x_2\\y_2}\right)\) = \(\displaystyle C\left(\matrix{2\\-1} \right)\) zu \(\displaystyle D\left(\matrix{7\\2}\right)\)

\(\displaystyle α_{CD} \)	\(\displaystyle = asin\left( \frac{2-(-1)}{\sqrt{(7-2)^2+(2-(-1))^2 }} \right)\)
	\(\displaystyle =asin\left( \frac{3}{\sqrt{5^2+3^2 }} \right) =asin\left( \frac{3}{\sqrt{34}} \right)\)
	\(\displaystyle =asin\left( \frac{3}{5.83} \right) =asin(0.5146) =31.0°\)

Der Winkel zwischen den Geraden wird, je nach Ausrichtung, durch Addition oder Subtraktion ermittelt.

Wenn beide Geraden von unten nach rechts aufsteigen oder beide von unten nach links aufsteigen werden die Winkel voneinander subtrahiert. Das Ergebnis ist der Winkel α

\(\displaystyle α=54.46-31=23.46° \)

Wenn eine Gerade von unten nach oben links und die angere nach rechts aufsteigt muessen die Winkel addiert werden. Das Ergebnis ist dann, je nach Steigung der geraden der spitze Winkel α oder der stumpfe Winkel β

\(\displaystyle Winkel=α_{AB} +α_{CD} \)

Die Summe der beiden Winkel α und β ist immer ein gestreckter Winkel von 180°. Wenn also das Resultat der Addition der stumpfe Winkel β ( >90° ) ist, kann der spitze Winkel durch Subtraktion nach der folgenden Formel berechnet werden.

\(\displaystyle α=180-β \)

Winkel zwischen zwei Geraden berechnen