Matrix Yaw Pitch Roll Rotation

Onlinerechner berechnet die Rotation einer 3x3 Matrizen um die Y, X und Z Achsen

Matrix 3x3 Rotation berechnen


Diese Funktion berechnet die 3D Rotation eines Körpers mit der Quaternion.

Die Maßeinheit der Winkel kann zwischen Grad oder Radian (Bogenmaß) umgeschaltet werden

Es kann die Aktive Rotation (Objekt drehen) oder die passive Rotation (Koordinaten drehen) berechnet werden

Zur Berechnung geben Sie die Rotationwinkel ein. Dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.


Rechner YXZ-Achsen Rotation

 Eingabe
Winkel, Y (Yaw)
Winkel, X (Pitch)
Winkel, Z (Roll)
Maßeinheit der Winkel
Rotation
Dezimalstellen
Resultat
M11   M12   M13
  M21   M22   M23
  M31   M32   M33

Matrizen Rotation mit der Quaternion

Diese Funktion berechnet die 3D Rotation eines Körpers mit der Quaternion. Die Quaternion ist eine Erweiterung der komplexen Zahlen. Damit wird gegenüber der Rotation mit Euler-Winkeln das Problem vermieden, das entsteht, wenn bei einer Konfiguration 2 Drehachsen übereinander liegen.

Die Matrizen der beiden Verfahren unterscheiden sich, da auch die Zuordnung der Achsen und die Reihenfolge der Berechnung unterschiedlich ist.

Rechner einer Rotation mit Euler-Winkeln finden Sie hier.

Der Rechner nimmt beim Erstellen einer Rotationsmatrix eine Roll-Nick-Gier-Rotationsreihenfolge an, d. h. ein Objekt wird zuerst um die Z-Achse gedreht, dann um die X-Achse und schließlich um die Y-Achse.


Rotation mit Euler-Winkeln

Rechner einer Rotation mit Euler-Winkeln finden SIe hier.

Aktive Rotation

Bei der aktiven Rotation wird der Vektor bzw. das Objekt im Koordinatensystem gedreht. Die aktive Rotation wird auch geometrischen Transformation genannt. Die Drehung verläuft entgegen dem Uhrzeigersinn.

Beispiel einer 90° Drehung der X-Achse
\(R_z(\alpha)= \left[\matrix{1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\0 & \sin \alpha & \cos \alpha } \right]\) \(= \left[\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0} \right]\)

Passive Rotation

Bei der passiven Rotation wird das Koordinatensystem gedreht. Der Vektor bleibt unverändert. Die Drehung verläuft im Uhrzeigersinn.


Beispiel einer 90° Drehung der X-Achse
\(R_z^{-1}(\alpha)= \left[\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\0 & -\sin \alpha & \cos \alpha } \right]\) \(= \left[\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 } \right]\)

Yaw, Pitch, Roll Rotation

Ein 3D-Körper kann um drei Achsen gedreht werden. Diese Rotationen werden im Englischen als Yaw Pitch Roll bezeichnet.


Yaw

Yaw bezeichnet die Drehung der Z-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix sieht folgenden Maßen aus

\(R_x(\gamma;)= \left[\matrix{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \gamma; & - \sin \gamma; \\ 0 & \sin \gamma; & \cos \gamma; } \right]\)

Pitch

Pitch bezeichnet die Drehung der Y-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix dazu zeigt die nächste Abbildung

\(R_y(\beta)= \left[\matrix{\cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \beta & 0 & \cos \beta} \right]\)

Roll

Roll ist die Drehung der X-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix zur X-Achse zeigt die nächste Abbildung

\(R_z(\alpha)= \left[\matrix{\cos \alpha & - \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1} \right]\)

Formel zur Yaw, Pitch, Roll Rotation

Jede Rotationsmatrix ist eine einfache Erweiterung der 2D-Rotationsmatrix. Zum Beispiel führt die Yaw-Matrix im Wesentlichen eine 2D-Rotation in Bezug auf die und die Koordinaten durch, während die Koordinate unverändert bleibt. So sehen die dritte Zeile und die dritte Spalte wie ein Teil der Identitätsmatrix aus, während der obere rechte Teil wie die 2D-Rotationsmatrix aussieht.

Die Yaw-, Pitch- und Roll-drehungen können verwendet werden, um einen 3D-Körper in jede Richtung zu platzieren. Eine einzige Rotationsmatrix kann gebildet werden, indem die Matrizen multipliziert werden.

\(R(\alpha\beta\gamma) = R_z(\alpha)\cdot R_y(\beta)\cdot R_x(\gamma)= \)

\( \left[ \matrix{ cos\; \alpha \cdot cos\; \beta & cos\; \alpha \cdot sin \;\beta \cdot sin\; \gamma - sin\; \alpha \cdot cos\; \gamma & cos\; \alpha \cdot sin\; \beta \cdot cos\; \gamma + sin\; \alpha \cdot sin\; \gamma \\ sin\; \alpha \cdot cos\; \beta & sin\; \alpha \cdot sin \;\beta \cdot sin\; \gamma + cos\; \alpha \cdot cos\; \gamma & sin\; \alpha \cdot sin\; \beta \cdot cos\; \gamma - cos\; \alpha \cdot sin\; \gamma \\ -sin\;\beta & cos\;\beta \cdot sin \;\gamma & cos\;\beta \cdot cos\;\gamma } \right]\)

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