Auflösungsvermögen (Rayleigh) berechnen

Winkelauflösung nach dem Rayleigh-Kriterium

Rayleigh-Rechner (JavaScript)

Rayleigh-Kriterium

Für kreisförmige Öffnungen gilt θ = 1,22·λ/D. Kleinere Winkel bedeuten besseres Auflösungsvermögen.

Resultat

Beispielrechnungen

Beispiel 1: 100-mm-Teleskop

Gegeben: λ = 550 nm, D = 100 mm

\[\theta=1{,}22\cdot\frac{550\cdot10^{-9}}{0{,}1}\] \[=6{,}71\cdot10^{-6}\,rad\approx1{,}38''\]

Ergebnis: θ ≈ 1,38 Bogensekunden

Beispiel 2: Benötigter Durchmesser

Gegeben: λ = 550 nm, θ = 0,7''

\[D=1{,}22\cdot\frac{\lambda}{\theta}\approx0{,}198\,m\]

Ergebnis: D ≈ 198 mm

Beispiel 3: Einfluss der Wellenlänge

Regel: kürzere λ → kleineres θ

\[\theta\propto\lambda\]

Interpretation: Blaues Licht ermöglicht bessere theoretische Auflösung als rotes Licht.

Formeln und ausführliche Beschreibung

Das Rayleigh-Kriterium gibt den minimalen Winkelabstand zweier Punktquellen an, bei dem sie noch getrennt wahrgenommen werden können. Es beschreibt die beugungsbedingte Grenze eines idealen optischen Systems mit kreisförmiger Öffnung. In der Praxis beeinflussen zusätzlich Abbildungsfehler, Atmosphärenseeing und Sensorauflösung das erreichbare Ergebnis.

Rayleigh-Formel
\[\theta=1{,}22\cdot\frac{\lambda}{D}\]
Wellenlänge
\[\lambda=\frac{\theta\cdot D}{1{,}22}\]
Durchmesser
\[D=1{,}22\cdot\frac{\lambda}{\theta}\]
Umrechnung
\[1\,rad=206265''\]
Hinweis
Ein größerer Öffnungsdurchmesser verbessert das Auflösungsvermögen (kleineres θ). In der Astronomie limitiert jedoch oft die Atmosphäre stärker als die reine Beugungsgrenze.

Beschreibung

Was ist das Auflösungsvermögen?

Das Auflösungsvermögen eines optischen Systems beschreibt dessen Fähigkeit, zwei dicht beieinander liegende Objektpunkte noch als getrennt abzubilden. Selbst bei perfekt geschliffenen Linsen oder Spiegeln ist diese Trennfähigkeit grundsätzlich begrenzt, weil Licht an der kreisförmigen Öffnung (Apertur) gebeugt wird. Jeder Objektpunkt erscheint daher nicht als idealer Punkt, sondern als kleines Beugungsscheibchen – das sogenannte Airy-Scheibchen.

Das Rayleigh-Kriterium

Nach dem Rayleigh-Kriterium gelten zwei Punktquellen genau dann als gerade noch auflösbar, wenn das Hauptmaximum des einen Airy-Scheibchens auf das erste Minimum des anderen fällt. Daraus ergibt sich der kleinstmögliche auflösbare Winkelabstand:

\[\theta = 1{,}22\cdot\frac{\lambda}{D}\]
  • θ – minimaler Winkelabstand (im Bogenmaß, hier in Bogensekunden ausgegeben)
  • λ – Wellenlänge des Lichts
  • D – Durchmesser der Öffnung (Apertur)
  • 1,22 – Konstante aus der ersten Nullstelle der Bessel-Funktion für kreisförmige Blenden

Ein kleinerer Winkel θ bedeutet ein besseres Auflösungsvermögen. Es verbessert sich also mit größerem Öffnungsdurchmesser und mit kürzerer Wellenlänge – blaues Licht erlaubt eine feinere Auflösung als rotes Licht.

Anwendungen
  • Dimensionierung von Teleskopen und Fernrohren in der Astronomie
  • Auflösungsgrenze von Mikroskopen und Kameraobjektiven
  • Beurteilung des menschlichen Auges (Pupillendurchmesser als Apertur)
  • Antennen- und Radartechnik bei elektromagnetischen Wellen
Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?