Numerische Apertur berechnen

Rechner für NA, Brechungsindex und Öffnungswinkel

NA-Rechner (JavaScript)

Grundformel

Die numerische Apertur ist definiert als NA = n·sin(α) mit Brechungsindex n und halbem Öffnungswinkel α.

Beispielrechnungen

Beispiel 1: Wasser-Immersionsobjektiv

Gegeben: n = 1,33, α = 60°

\[NA=n\cdot\sin(\alpha)=1{,}33\cdot\sin(60^\circ)=1{,}15\]

Ergebnis: NA ≈ 1,15

Beispiel 2: Brechungsindex aus NA

Gegeben: NA = 0,95, α = 70°

\[n=\frac{NA}{\sin(\alpha)}=\frac{0{,}95}{\sin(70^\circ)}\approx1{,}01\]

Ergebnis: n ≈ 1,01 (nahe Luft)

Beispiel 3: Winkel aus NA und n

Gegeben: NA = 1,25, n = 1,52

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{NA}{n}\right)=\arcsin\left(\frac{1{,}25}{1{,}52}\right)\approx55{,}3^\circ\]

Ergebnis: α ≈ 55,3°

Formeln und ausführliche Beschreibung

Die numerische Apertur ist eine zentrale Kenngröße von Objektiven und beschreibt deren Lichtsammeleigenschaft und Auflösungspotenzial. Höhere NA ermöglicht bessere Detailerkennbarkeit, setzt aber präzisere optische Bedingungen voraus. In der Mikroskopie beeinflusst NA direkt die erreichbare laterale Auflösung und die Tiefenschärfe.

Numerische Apertur

\[NA=n\cdot\sin(\alpha)\]

Brechungsindex

\[n=\frac{NA}{\sin(\alpha)}\]

Öffnungswinkel

\[\alpha=\arcsin\left(\frac{NA}{n}\right)\]

Physikalische Grenze

\[NA\le n\]

Hinweis

Wenn NA größer als n eingegeben wird, ist der Winkel physikalisch nicht realisierbar. Immersionsmedien mit höherem n erlauben größere NA-Werte und damit höhere Auflösung.

Ausführliche Beschreibung

Was ist Numerische Apertur?

Die Numerische Apertur (NA) ist ein fundamentales optisches Merkmal von Objektiven und Linsen. Sie beschreibt das Vermögen einer Linse, Licht zu sammeln und zu bündeln. Eine höhere NA bedeutet besseres Auflösungsvermögen (feinere Details erkennbar) und größere Lichtstärke (helleres Bild). NA ist eine dimensionslose Größe und wird durch die Formel NA = n·sin(α) definiert.

Komponenten der Numerischen Apertur

Parameter	Symbol	Bedeutung	Typische Werte
Brechungsindex	n	Optische Dichte des Mediums zwischen Objektiv und Präparat	1,00 (Luft), 1,33 (Wasser), 1,52 (Öl)
Halber Öffnungswinkel	α	Halbwinkel des Lichtkegels von der Objektivlinse	30° bis 70° (meist)
Numerische Apertur	NA	Lichtsammeleigenschaft der Linse	0,1 bis 1,4 (Luftmikroskopie bis Ölimmersion)

Die Grundformel

Die numerische Apertur wird nach folgender Formel berechnet:

\[NA = n \cdot \sin(\alpha)\]

n ist der Brechungsindex des Mediums zwischen Objektiv und Präparat
sin(α) ist der Sinus des halben Öffnungswinkels
Die Multiplikation zeigt, dass NA von beiden Faktoren beeinflusst wird

Immersionsmedien und ihre Brechungsindizes

Medium	Brechungsindex n	Typische NA-Werte	Verwendung
Luft	1,00	bis 0,95	Standard-Mikroskopie, kostengünstig
Wasser	1,33	bis 1,20	Lebende Proben, reduzierte Aberrationen
Immersionsöl	1,515	bis 1,40	Höchste Auflösung, Standard in der Mikroskopie
Zedernöl	1,52	bis 1,42	Historisch, selten heute noch verwendet
Spezialöl	1,56	bis 1,50	Forschungsanwendungen, hochwertige Systeme

NA und Auflösungsvermögen (Rayleigh-Kriterium)

Die Rayleigh-Auflösungsgrenze – die kleinste Distanz zwischen zwei Punkten, die noch als getrennt wahrgenommen werden – ist direkt mit der numerischen Apertur verbunden:

\[d = \frac{\lambda}{2 \cdot NA}\]

d – minimale auflösbare Distanz (Auflösungsvermögen)
λ – Wellenlänge des Lichts (ca. 0,5 µm für sichtbares Licht)
NA – Numerische Apertur des Objektives

Je höher die NA, desto kleiner ist d, desto besser die Auflösung!

Tiefenschärfe und NA

Die Tiefenschärfe (DOF) ist die Dicke der Schicht, die in fokus erscheint. Sie wird durch NA stark beeinflusst:

\[DOF = \frac{\lambda}{2 \cdot NA^2} \approx \frac{0{,}5}{NA^2}\,\mu m\]

Hohe NA → kleine Tiefenschärfe (dünne fokussierte Ebene, gutes Schichtendetail)
Niedrige NA → große Tiefenschärfe (dicke fokussierte Ebene, gute Übersicht)

Praktische NA-Werte verschiedener Objektive

Objektivtyp	Vergrößerung	NA (Luft)	NA (Öl)	Auflösung (Luft)
Schwach	4×, 10×	0,10–0,25	–	~2,0–1,0 µm
Mittel	20×, 40×	0,40–0,65	0,65–0,80	~0,6–0,4 µm
Stark	63×, 100×	0,70–0,95	1,25–1,40	~0,35–0,2 µm
Öl-Immersion	100×, 150×	–	1,30–1,40	~0,2 µm (optimal)

NA und Lichtstärke

Ein Objektiv mit höherer NA sammelt mehr Licht und erzeugt ein helleres Bild:

Die Lichtstärke ist proportional zu NA²
Verdoppelung der NA → vierfache Lichtstärke
Dies ist besonders wichtig bei Fluoreszenz-Mikroskopie und Dunkelfeld-Beleuchtung

Mathematische Grenzen

Es gibt eine fundamentale physikalische Grenze für die numerische Apertur:

\[NA \le n\]

Dies liegt daran, dass sin(α) maximal den Wert 1 annehmen kann (bei α = 90°). Daher ist die maximale NA:

In Luft: NA_max = 1,00
In Wasser: NA_max = 1,33
In Ölimmersion: NA_max ≈ 1,40–1,50

Wie man NA eines Objektives bestimmt

Die NA ist gewöhnlich auf dem Objektiv eingraviert, meist in folgendem Format:

Beispiel: 40× / 0,65 oder 100× / 1,40 Oil

Erste Zahl: Vergrößerung des Objektives
Zweite Zahl: Numerische Apertur
Zusatz „Oil": Zeigt, dass Ölimmersion erforderlich ist

Praktische Hinweise

Ölimmersion verwenden: Für höchste Auflösung müssen die richtige Ölsorte und ein sauberes Objektiv verwendet werden
Wellenlänge beachten: Kürzere Wellenlängen (Blau, UV) ermöglichen bessere Auflösung
Kondensor-NA: Die NA des Kondensators sollte ≥ der Objektiv-NA sein für optimale Ausleuchtung
Sperrapertur: Ein zu großer Öffnungswinkel kann Kontrastzunahme bei zu großer NA sein
Korrektionen: Hochwertige Objektive sind für chromatische und sphärische Aberrationen korrigiert (Apochromate)

Vergleich: Verschiedene Objektivtypen

Objektivtyp	Korrektion	NA-Bereich	Aberration	Kosten
Achromat	2 Farben (Rot, Blau)	0,1–0,95	Moderat	€–€€
Fluorit/Semi-Apochromat	Bessere Farbkorrektur	0,1–1,20	Niedrig	€€€
Apochromat	Alle Farben (ideal)	0,1–1,40	Minimal	€€€€

Zusammenfassung: Warum NA wichtig ist

Höhere NA ermöglicht:

✓ Bessere Auflösung – feinere Details sichtbar
✓ Höhere Lichtstärke – hellere Bilder
✓ Kontrastverbesserung – bessere Unterscheidbarkeit
✗ Kleinere Tiefenschärfe – dünne fokussierte Schicht (manchmal nachteilig)
✗ Höhere Aberrationen – ohne Korrektion zu Verzerrungen

Ist diese Seite hilfreich?

Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid
Wie können wir die Seite verbessern?