Komplexe Zahlen

Dieser Artikel gibt eine kurze Einführung in die Grundlagen zum Rechnen mit komplexen Zahlen. Detailliertere Beschreibungen finden Sie in dem Kapitel über Komplexe Zahlen

Definition einer komplexen Zahl

Mit quadratische Gleichungen gibt es nicht immer eine (reelle) Lösung. Beispielsweise die Gleichung:

\(X^2 + 1=0\) oder eben \(X^2 = -1\)

Um unter anderem trotzdem mit Lösungen von solchen Gleichungen rechnen zu können, verwenden wir eine neue, die imaginäre Zahl. Bezeichnete wird diese mit dem Buchstaben \(i\).


Eine komplexe Zahl \(z\) besteht aus einem Realteil \(a\) und einem Imaginärteil \(b\). Der Imaginärteil wird mit dem Buchstaben \(i\) gekennzeichnet

\(z=a+bi\)

Die imaginäre Einheit \(i\) hat die Eigenschaft

\(z^2=-1\)

Dem Betrag einer komplexen Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene die Länge des Vektors \(z\)


Grafische Anzeige komplexer Zahlen

Um komplexe Zahlen grafisch zu interpretieren wird die Gaußschen Zahlenebene verwendet. Die Gaußschen Zahlenebene ist eine besondere Form eines normalen kartesischen Koordinatensystems. Der Unterschied liegt in der Bezeichnung der Achsen.

Auf der X-Achse der Gaußschen Zahlenebene wird der reelle Teil der komplexen Zahl angezeigt. Die Achse wird entsprechen reelle Achse genannt.

Auf der Y-Achse des Koordinatensystems wird auf der Gaußschen Zahlenebene der imaginäre Teil der komplexen Zahl angezeigt. Die Achse wird entsprechen imaginäre Achse genannt.


Das folgende Bild zeigt eine grafische Darstellung der komplexen Zahl \(3 + 4i\). Der Betrag \(z\) ist \(5\).


Komplexer Zahlen addieren und subtrahieren

Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entspricht der Addition und Subtraktion der Vektoren. D.h. die real- und imaginären Komponenten werden addiert bzw. subtrahiert. 

Addition:
\(\normalsize z_{1}+z_2 = x_1+x_2+i(y_1+y_2)\)

Subtraktion: 
\(z_{1}-z_2 = x_1+x_2-i(y_1+y_2)\)

Beispiele

\((1+2i)+(4+3i)=(1+4)+i·(2+3)=4+5i\)

\((1+2i)+8i=1+10i\)

\((1+2i)+(4+2i)=5+4i\)

\((1+2i) -(4+2i)=3\)


Das folgende Bild zeigt die grafische Darstellung der Addition \((2+4i)+(5+2i)\).




Multiplikation komplexer Zahlen

Zur Multiplikation komplexer Zahlen werden die Klammern ausmultipliziert. 

z1·z2 = (x1+y1i)· ( x2+y2i)

= x1·x2 - y1·y2+i (x1·y2+ y1·x2)

Beispiele

( 1+2i)· ( 4+3i)= ( 1·4- 2·3)+i· ( 1·3+ 2·4)= -2+11i


Das folgende Bild zeigt eine Multiplikation als Grafik

( 2+4i)· ( 5+2i)= 2+ 24i .

Konjugierte einer komplexen Zahl

Zur Division einer komplexen Zahl benötigen Sie die Konjugierte einer komplexen Zahl.

Die Konjugierte zu   z=a + bi   schreibt man   z=a + bi

Bei Operationen ist   z1+z2 ¯ = z1 ¯ + z2 ¯   und   z1·z2 ¯ = z1 ¯ · z2 ¯

Im folgenden Beispiel wird die Summe von z1=1-2i   und z2=6+4i , sowie der Konjugierten   z1+z2 ¯   gesucht.

Summe:
z1+z2= (1-2i)+ (6-4i)= 7+2i

Konjugierte:
z1+z2 ¯ = 7+2i ¯ = 7-2i





Division komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.

z1 / z2= ( z1 / z2) ( z1¯  /  z2¯ )

Beispiel zur Berechnung des Quotienten



3-2i 4+5i = 3-2i 4+5i 3-2i 4-5i = 12-15i-8i+10i2 16-25i2 = 12-10-23i 16+25 = 2-23i 41 = 2 41 -i 23 41


Der Realteil ist also:
Re( 3-2i 4+5i )= 241
 

Der Imaginärteil ist:
Im( 3-2i 4+5i )=- 2341