Einführung in die Grundlagen zu Polarkoordinaten komplexer Zahlen.
Detailliertere Beschreibungen finden Sie in dem Kapitel über Komplexe Zahlen
Um komplexe Zahlen grafisch anzuzeigen, verwendet man eine Gaußsche Zahlenebene. Die Gaußsche Zahlenebene unterscheidet sich hier vom kartesischen Koordinatensystems in der Bezeichnung der Achsen.
Die x-Achse repräsentiert den realen Teil der komplexen Zahl. Die x-Achse heißt \(reelle Achse\)
Die y-Achse repräsentiert den imaginären Teil der komplexen Zahl. Diese Achse heißt entsprechend \(imaginäre Achse\)
Die Darstellung mittels Ortsvektoren ergibt immer ein rechtwinkliges Dreieck, das aus den beiden Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(z\) besteht. Der Betrag oder Wert einer komplexen Zahl entspricht der Länge des Ortsvektors.
Der Betrag einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) ist also: \(|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
Die Abbildung unten zeigt die grafische Darstellung der komplexen Zahl \(3+4i\)
Berechnung des Betrags der komplexe Zahl \(z = 3 - 4i\)
\(|z|= \sqrt{3+8}=\sqrt{3^{2}+(-42)}=\sqrt{25}=5\)
Die Position eines Punktes\((a,b)\) kann auch durch den Winkel \(φ\) und die Länge des Ortsvektors \(z\) bestimmt werden. Dazu verwendet man die Kosinus- und Sinussätze am rechtwinkligen Dreieck:
\(z = a + bi = |z| · cos φ + i · |z| · sin φ = |z| · ( cos φ + i · sin φ)\)
Eine komplexe Zahl kann somit eindeutig durch das Paar \((|z|, φ)\) definiert werden. \(φ\) ist dabei der zum Vektor gehörende Winkel.
Mit dieser Darstellung komplexer Zahlen wird auch die geometrisch Darstellung einer Multiplikation komplexer Zahlen einfacher. Bei der Multiplikation werden die Winkel addiert und die Länge der Vektoren mutipliziert.
Die Abbildung unten zeigt das Beispiel einer geometrisch Darstellung einer Multiplikation der komplexer Zahlen \(2+2i\) und \(3+1i\).
Die folgende Beschreibung zeigt die Bestimmung der Polarkoordinaten einer komplexen Zahl durch die Berechnung des Winkel \(φ\) und die Länge des Vektors \(z\)
Für die Berechnung des Winkels der Zahl \(|z| = a + bi\) gelten folgende trigonometrische Formeln:
Wenn \(b > 0\) ist: \(arccos (a / |z|)\)
Wenn \(b < 0\) ist: \(2π - arccos (a / |z|)\)
Im folgenden Beispiel werden die Polarkoordinaten der komplexen Zahl \(z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}\) berechnet
Berechnung des Betrags: \(|z|=\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2+2}=2\)
Berechnung des Winkels: \(φ =arccos(a / |z|) = arccos(-\sqrt{2}/2)=135\)
Im RedCrab Calculator werden die Funktion Arg und Magnitude() oder Abs() verwendet.
\(z=Complex(-\sqrt{2}+i\sqrt{2})\)
Berechnung des Betrags: \(Abs(z)=2\)
Berechnung des Winkels: \(Arg(z)=135\)
Wenn der Betrag und der Winkel einer komplexen Zahl bekannt sind kann daraus der reale und imaginäre Wert mit den folgenden Formeln berechnet werden.
Real: \(a=|z|·cos(φ)\)
Imaginär: \(b=|z|·sin(φ)\)
Wenn die Werte aus dem Beispiel oben eingesetzt werden, ergibt sich die komplexte Zahl \( -1.41 + 1.41i\)
\(a=2·cos(135)=-1.41\)
\(b=2·sin(135)=1.41\)
Mit dem RedCrab Calculator wird die Funktion FromPolar verwendet
\(FromPolar(2, 135) = -1.41 + 1.41i\)
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