Mathematik und Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen bilden die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,....n+1.

Diese Menge ist unendlich groß, denn jede Zahl n hat einen Nachfolger n + 1.

Für natürlichen Zahlen gibt es die zwei Operationen Addition und Multiplikation. 

Bei der Addition addiert man zwei Zahlen a + b zu einer neuen Zahl. Dabei sind a und b die Summanden und das Resultat die Summe.

Bei der Multiplikation multipiziert man zwei Zahlen a * b zu einer neuen Zahl. Dabei heißen a und b Faktoren und das Resultat ist das Produkt.

 

Ganze Zahlen

Natürlichen Zahlen können ohne Einschränkung addiert und mulipliziert werden. Für Substraktion und Division gilt das nur mit Einschränkung. 7 - 5 = 2 oder 8 / 2 = 4 kann mit natürlichen Zahlen gerechnet werden. Mit 5 -7 wird jedoch der Bereich der natürlichen Zahlen verlassen. Das Resultat -2 fällt in den Bereich der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen erweitern den Bereich der natürlichen Zahlen um den negativen Bereich

Die Menge der ganzen Zahlen bilden die Zahlen -(n+1) ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...n+1

 

Rationale Zahlen

Um eine Zahlenmenge zu bekommen, bei der auch jedes Ergebnis einer Division in dieser Menge liegt, müssen wir die ganzen Zahlen erweitern. Dazu werden die rationalen Zahlen verwendet. Diese werden durch Brüche von ganzen Zahlen gebildet. Die ganzen Zahlen sind ebenfalls in den rationalen Zahlen enthalten.

Damit können alle vier Grundoperationen ausgeführt werden. Die folgenden Beispiele zeigen die Verknüpfung rationaler Zahlen.

Beim Addieren müssen die beide Summanden auf den gemeisamen Hauptnenner gebracht werden

$$\frac{a}{b}+\frac{m}{n}\mathrm{ = }\frac{\mathrm{an}}{\mathrm{bn}}+\frac{\mathrm{bm}}{\mathrm{bm}}\mathrm{ = }\frac{\mathrm{an}+\mathrm{bm}}{\mathrm{bn}}$$

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\mathrm{ = }\frac{4}{8}+\frac{6}{8}\mathrm{ = }\frac{10}{8}\mathrm{ = }1\frac{1}{4}$$

Eine Subtraktion kann über die Addition ausgeführt werden

$$\frac{a}{b}-\frac{m}{n}\mathrm{ = }\frac{a}{b}+\frac{\mathrm{-m}}{n}$$

Bei der Multiplikation wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert

$$\frac{a}{b}*\frac{m}{n}\mathrm{ = }\frac{\mathrm{am}}{\mathrm{bn}}$$

Division durch einen Bruch ist gleich der Multiplikation mit seinem Kehrwert.

$$\frac{a}{b} \; /\; \frac{m}{n}\mathrm{ = }\frac{a}{b}*\frac{n}{m}\mathrm{ = }\frac{\mathrm{an}}{\mathrm{bm}}$$

Rationale Zahlen können als Dezimalbruch geschrieben werden. Dezimalbrüche sind Kommazahlen. Vor dem Komma steht der ganze Anteil der Zahl, nach dem Komma die Nachkommastellen. Rationale Zahlen in Dezimalbruchschreibweise haben die Eigenschaft, dass sie entweder nur endlich viele Nachkommastellen haben oder es in den Nachkommastellen eine Periode gibt, in der sich Ziffernfolgen wiederholen.

Beispiel von rationale Zahlen in Dezimalbruchschreibweise

$$\frac{1}{2}\mathrm{ = }\mathrm{0.5}\frac{1}{4}\mathrm{ = }\mathrm{0.25}\frac{3}{8}\mathrm{ = }\mathrm{0.375}\frac{888}{100}\mathrm{ = }8.88$$

$$\frac{5}{12}\mathrm{ = }0.4166666\mathrm{ = }0.416\frac{7}{1111}\mathrm{ = }0.006300630063\mathrm{ = }0.0063$$

Irrationale und reelle Zahlen

Zahlen mit einer unendlichen Anzahl von Nachkommastellen ohne Periode sind irrationale Zahlen. Bekannte irrationalen Zahlen sind die Zahl Pi = 3.14159265358... und die Eulersche Zahl e.

Die rationalen Zahlen zusammen mit den irrationalen sind die reellen Zahlen.

 

Komplexe Zahlen