Formeln zur Berechnung von Kursen im Finanzwesen
In der Kursrechnung geht es darum, einen Preis bei gegebener Rendite zu berechnen. Der Preis ist ein Äquivalent zu den zukünftig erwarteten Leistungen. Dies können Zinsen und Tilgung bei Anleihen, Dividente bei Aktien oder die Schuldsumme bei Wechseln sein. Umgekehrt kann bei einem gegebenen Preis auch die Rendite berechnet werden, die erzielt wird.
Die zukünftigen Leistungen werden einem Käufer genau so viel wert sein wie der Barwert. Diese Wertschätzung ist der Kurswert. Ein Kurs wird berechnet, weil die zukünftigen Leistungen entweder unsicher sind wie eine vom Gewinn abhängige Dividente oder von der Erwartung des Käufers abweichen.
Man unterscheidet zwischen Nominalkapital \(K_{nom}\) und Realkapital \(K_{real}\). Das Nominalkapital entspricht dem angegebenen Nennwert eines Wertpapiers oder einer Schuld. Das Realkapital ist der Wert der zukünftigen Leistungen.
Der vereinbarte Jahrszinssatz wird nomineller Zinssatz \(i_{nom}\) genannt. Der Zinssatz, der auf Grund der Marktbedingungen realisiert werden kann, heißt realer Zinssatz \(i_{real}\). Er wird auch als Marktzins oder Marktrendite bezeichnet.
Der mit dem Marktzins berechnete Barwert aller durch ein Nominalkapital mit dem Nominalwert 100 generierten zukünftigen Zahlungen wird der in Prozent gemessene Kurs C genannt.
Der Kurs \(C\) kann durch die folgende Formel berechnet werden.
\(\displaystyle C_0=\frac{K_0^{real}}{K_0^{nom}} ·100\)
Ist das Nominalkapital speziell \(K_{nom} = 100\), dann ist der Kurs \(C = K_{real}\)
Der Preis \(P\) entspricht dann dem Wert \(K_{real}\).
Bei bekanntem Kurs \(C\) kann er mit der folgenden Formel errechnet werden.
\(\displaystyle P=\frac{C}{100}·K_{nom}\)
Bei einem Kurs \(C = 100\) spricht man von Parikurs. Ein Kurs \(C < 100\) heißt unter pari, \(C > 100\) wird über pari genannt.
\(\displaystyle C_0=\left(\frac{q_{nom}}{q_{real}}\right)^{n-k} ·100\)
\(\displaystyle W=\frac{q_{nom}^n·K_0}{q_{real}^{n-k}}\)
\(\displaystyle C_0=\left(p_{nom}·\frac{1}{q_{real}^n}· \frac{q_{real}^n -1}{q_{real}-1} \right) + \frac{R}{q_{real}^n} \)
Schätzformel für alle Formeln
\(\displaystyle C_0=\frac{P_{nom}}{P_{real}} ·100\)
Beispiel
Einem Nominalkapital von \(100\) Euro wird bei einer Verzinsung von \(5\%\) jedes Jahr \(5\) Euro an Zinsen realisieren, die als ewige Rente abgehoben werden kann. Wenn die die Verzinsung nur \(4\% \) ist, muss ein Realkapital von \(125\) Euro angelegt werden um die gleiche Rente zu erhalten. Der Kurs beträgt dann:
\(\displaystyle C=100·\frac{K_{real}}{K_{nom}}=100 ·\frac{125}{100}=125\)
Berechnung einer in \(n\) Jahren rückzahlbare Annuitäatenschuld. Dabei ist \(a\) der unter Verwendung des realen bzw. des nominellen Zinssatz gebildete Rentenbarwertfaktor
\(\displaystyle C_0=\frac{a_n^{real}}{a_n^{nom}}·100\)
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}\)
Berechnung einer Ratenschuld mit einer Laufzeit von \(n\) Jahren. Die Raten bleiben über die Laufzeit konstant.
\(\displaystyle C_0=\frac{100}{n}·\left(a_n^{real}+\frac{p_{nom}}{p_{real}}· \left(n-a_n^{real}\right)\right)\)
\(\displaystyle a_n^{real}=\frac{1}{q_n^{real}}·\frac{q_{real}^n-1}{q_{real}-1}\)
\(\displaystyle x=\frac{lg\;n-lg\left(\frac{1}{q_{real}^n} · \frac{q_{real}^n-1}{q_{real}-1}\right)} {lg\;q_{real}}\)
\(\displaystyle C_0=\left(p_{nom}·\frac{1}{q_{real}^x}·\frac{q_{real}^x-1}{q_{real}-1}\right)+\frac{R}{q_{real}^x}\)