Kursrechnung

Formeln zur Berechnung von Kursen im Finanzwesen

In der Kursrechnung geht es darum, einen Preis bei gegebener Rendite zu berechnen. Der Preis ist ein Äquivalent zu den zukünftig erwarteten Leistungen. Dies können Zinsen und Tilgung bei Anleihen, Dividente bei Aktien oder die Schuldsumme bei Wechseln sein. Umgekehrt kann bei einem gegebenen Preis auch die Rendite berechnet werden, die erzielt wird.

Die zukünftigen Leistungen werden einem Käufer genau so viel wert sein wie der Barwert. Diese Wertschätzung ist der Kurswert. Ein Kurs wird berechnet, weil die zukünftigen Leistungen entweder unsicher sind wie eine vom Gewinn abhängige Dividente oder von der Erwartung des Käufers abweichen.

Man unterscheidet zwischen Nominalkapital \(K_{nom}\) und Realkapital \(K_{real}\). Das Nominalkapital entspricht dem angegebenen Nennwert eines Wertpapiers oder einer Schuld. Das Realkapital ist der Wert der zukünftigen Leistungen.

Der vereinbarte Jahrszinssatz wird nomineller Zinssatz \(i_{nom}\) genannt. Der Zinssatz, der auf Grund der Marktbedingungen realisiert werden kann, heißt realer Zinssatz \(i_{real}\). Er wird auch als Marktzins oder Marktrendite bezeichnet.


Kursrechnen


Der mit dem Marktzins berechnete Barwert aller durch ein Nominalkapital mit dem Nominalwert 100 generierten zukünftigen Zahlungen wird der in Prozent gemessene Kurs C genannt.


Der Kurs \(C\) kann durch die folgende Formel berechnet werden.

\(\displaystyle C_0=\frac{K_0^{real}}{K_0^{nom}} ·100\)
  • \(C_0 =\) Kurs
  • \(K_{nom} =\) Nominalwert
  • \(K_{real} = \) Barwert der ausstehen den Cash-Flows abgezinst mit \(q_{real}\)

Ist das Nominalkapital speziell \(K_{nom} = 100\), dann ist der Kurs \(C = K_{real}\)

Der Preis \(P\) entspricht dann dem Wert \(K_{real}\).


Bei bekanntem Kurs \(C\) kann er mit der folgenden Formel errechnet werden.

\(\displaystyle P=\frac{C}{100}·K_{nom}\)

Bei einem Kurs \(C = 100\) spricht man von Parikurs. Ein Kurs \(C < 100\) heißt unter pari, \(C > 100\) wird über pari genannt.



Kurs und Wert einer einmaligen Schuld


\(\displaystyle C_0=\left(\frac{q_{nom}}{q_{real}}\right)^{n-k} ·100\)
\(\displaystyle W=\frac{q_{nom}^n·K_0}{q_{real}^{n-k}}\)
  • \(W =\) Übernahmewert
  • \(K_0 =\) Schuldenauszahlung zu Beginn
  • \(C_0 =\) Kurs einmalige Schuld
  • \(n =\) Gesamtlaufzeit
  • \(k =\) verstrichene AnzahlJahre
  • \(n-k =\) Restlaufzeit
  • \(q_{real}\) = Aufzinsungsfaktor real
  • \(q_{nom}=\) Aufzinsungsfaktor nominal



Kurs einer Zinsanleihe


\(\displaystyle C_0=\left(p_{nom}·\frac{1}{q_{real}^n}· \frac{q_{real}^n -1}{q_{real}-1} \right) + \frac{R}{q_{real}^n} \)
  • \(W =\) Übernahmewert
  • \(K_0 =\) Schuldenauszahlung zu Beginn
  • \(C_0 =\) Kurs einmalige Schuld
  • \(n =\) Gesamtlaufzeit
  • \(k =\) verstrichene AnzahlJahre
  • \(n-k =\) Restlaufzeit
  • \(q_{real}\) = Aufzinsungsfaktor real
  • \(q_{nom}=\) Aufzinsungsfaktor nominal


Kurs einer ewigen Rente


Schätzformel für alle Formeln

\(\displaystyle C_0=\frac{P_{nom}}{P_{real}} ·100\)
  • \(C_0 =\) Kurs einer ewigen Rente
  • \(P_{nom} =\) Zinsfuss nominal
  • \(P_{real} =\) Zinsfuss real

Beispiel

Einem Nominalkapital von \(100\) Euro wird bei einer Verzinsung von \(5\%\) jedes Jahr \(5\) Euro an Zinsen realisieren, die als ewige Rente abgehoben werden kann. Wenn die die Verzinsung nur \(4\% \) ist, muss ein Realkapital von \(125\) Euro angelegt werden um die gleiche Rente zu erhalten. Der Kurs beträgt dann:

\(\displaystyle C=100·\frac{K_{real}}{K_{nom}}=100 ·\frac{125}{100}=125\)


Kurs einer Annuitätenanleihe


Berechnung einer in \(n\) Jahren rückzahlbare Annuitäatenschuld. Dabei ist \(a\) der unter Verwendung des realen bzw. des nominellen Zinssatz gebildete Rentenbarwertfaktor

\(\displaystyle C_0=\frac{a_n^{real}}{a_n^{nom}}·100\)
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}\)
  • \(C_0 =\) Kurs einer Annuitätenanleihe
  • \(n\) = Laufzeit in Jahren
  • \(q_{real} =\) Aufzinsungsfaktor real
  • \(q_{nom}=\) Aufzinsungsfaktor nominal



Kurs einer Ratenschuld (direkte Berechnung)


Berechnung einer Ratenschuld mit einer Laufzeit von \(n\) Jahren. Die Raten bleiben über die Laufzeit konstant.

\(\displaystyle C_0=\frac{100}{n}·\left(a_n^{real}+\frac{p_{nom}}{p_{real}}· \left(n-a_n^{real}\right)\right)\)
\(\displaystyle a_n^{real}=\frac{1}{q_n^{real}}·\frac{q_{real}^n-1}{q_{real}-1}\)
  • \(C_0 =\) Kurs für Ratenschuld
  • \(n\) = Laufzeit
  • \(p_{nom}=\) Zinsfuss nominal
  • \(p_{real} =\) Zinsfuss real
  • \(q_{real} =\) Aufzinsungsfaktor real
  • \(q_{nom}=\) Aufzinsungsfaktor nominal



Kurs einer Ratenschuld (Konversion)


\(\displaystyle x=\frac{lg\;n-lg\left(\frac{1}{q_{real}^n} · \frac{q_{real}^n-1}{q_{real}-1}\right)} {lg\;q_{real}}\)
\(\displaystyle C_0=\left(p_{nom}·\frac{1}{q_{real}^x}·\frac{q_{real}^x-1}{q_{real}-1}\right)+\frac{R}{q_{real}^x}\)
  • \(C_0 =\) Kurs für Ratenschuld
  • \(n\) = Laufzeit
  • \(x =\) mittlere Laufzeit
  • \(R =\) Rücknahmekurs
  • \(p_{nom}=\) Zinsfuss nominal
  • \(q_{real} =\) Aufzinsungsfaktor real
  • \(q_{nom}=\) Aufzinsungsfaktor nominal