Rendite

Formeln zur Berechnung der Rendite von festverzinslichen Wertpapieren

Einfache (statische) Obligationenrendite


Für eine Periode

\(\displaystyle r=\frac{C}{P_0}\)
  • \(C =\) Coupon (in Prozenten)
  • \(P_0 =\) Kaufpreis

Für mehrere Perioden

\(\displaystyle r=\frac{C}{P_0}+\left(\frac{1}{n}·\frac{R-P_0}{P_0}\right)\)
  • \(C =\) Coupon (in Prozenten)
  • \(P_0 =\) Kaufpreis
  • \(R =\) Rücknahmepreis
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit


Barwertmodell


Jährliche Coupons

\(\displaystyle PV(A)=\left(C·\sum_{t-1}^n \frac{1}{(1+r_M)^t}\right) + \frac{R}{(1+r_M)^n}\)
  • \(PV =\) Tagespreis (Present-Value)
  • \(C =\) Coupon (in Prozenten)
  • \(r_M =\) Marktzinssatz
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
  • \(R =\) Rücknahmepreis

\(\displaystyle PV(A)=C·a_n+\frac{R}{q^n}\)

\(\displaystyle =C·\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{R}{q^n}\)

\(\displaystyle =C·\frac{1}{(1+r_M)^n}·\frac{(1+r_M)^n-1}{(1+r_M)-1}+\frac{R}{(1+r_M)^n}\)

  • \(PV =\) Tagespreis (Present-Value)
  • \(C =\) Coupon (in Prozenten)
  • \(r_M =\) Marktzinssatz
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
  • \(R =\) Rücknahmepreis
  • \(a_n =\) Barwertfaktor nachschüssig
  • \(q =\) Aufzinsungsfaktor


Mehrere Coupons jährlich

\(\displaystyle PV(A)=\sum_{t=1}^{n·m}\left(\frac{\frac{1}{m} · C_t}{\left(1+\frac{r_M}{m}\right)^t}\right) +\frac{R}{\left(1+\frac{r_m}{m}\right)^{n-m}}\)

\(\displaystyle PV(A)=\frac{C_t}{m}·\frac{1}{q^{n·m}}·\frac{q^{n·m}-1}{q-1}+\frac{R}{q^{n·m}}\)

\(\displaystyle q=\sqrt[\large{X}]{1+\frac{r_M}{m}}\)
  • \(PV =\) Barwert (Present-Value)
  • \(C =\) Jahres-Coupon
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
  • \(r_M =\) Marktzinssatz
  • \(m =\) Anzahl Coupons pro Jahr
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
  • \(R =\) Rücknahmepreis
  • \(q = q_{konf}\)
  • \(x =\) Anzahl Zahlungen in einer Zinsperiode

Barwert während der Laufzeit


\(\displaystyle PV_{Δt}(A) = \left(1+r_M\right)^{\large{\frac{Δt}{360}}}·PV(A)\)
  • \(PV =\) Tagespreis (Present-Value)
  • \(PV_{Δt} =\) Barwert während der Laufzeit
  • \(r_M =\) Marktzinssatz
  • \(Δt =\)Tage seit letzter Coupon-Zahlung


Endwert


\(\displaystyle FV(A) = \sum_{t=1}^n (C_t·(1+r_M)^{n-t})+R\)
  • \(FV =\) Future Value (Endwert)
  • \(C =\) Jahres-Coupon
  • \(r_M =\) Marktzinssatz
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit in Jahren
  • \(R =\) nom. Rückzahlungsbetrag


Rendite auf Verfall


Unmittelbar bei Cps-Verfall

\(\displaystyle P_0=C_t·\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{R}{q^n}\)

\(\displaystyle q=1+r_A\)
  • \(P_0 =\) Börsen- / Tagespreis
  • \(C_t =\) Jahres-Coupon
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit
  • \(R =\) Rücknahmepreis
  • \(r_A =\) Rendite (Effektivverzinsung)


Unterjährig, nicht per Verfalltag

\(\displaystyle P_T=(1+r_A)^{\large{\frac{Δt}{360}}}·P_0\)

\(\displaystyle P_T=q^{\large{\frac{Δt}{360}}}· \left(C_t·\frac{1}{q^n}·\frac{q^n-1}{q-1}+\frac{R}{q^n}\right)\)

\(\displaystyle q=1+r_A\)

  • \(P_T =\) Börsen- / Tagespreis
  • \(P_0 =\) Preis flat oder ex
  • \(C_t =\) Jahres-Coupon
  • \(n =\) (Rest-)Laufzeit aufgerundet
  • \(R =\) Rücknahmepreis
  • \(r_A =\) Rendite (Effektivverzinsung)
  • \(Δt =\) Tage seit letzter Coupon-Zahlung bis zum Erwerb

Marchzinsen

\(\displaystyle M=C_t· \frac{q^ {\large {\frac{Δt}{360}} } -1} {q-1} \)

\(\displaystyle q=1+r_A\)

oder
\(\displaystyle M=C_t·\frac{Δt}{360}\)
  • \(M =\) Marchzinsen
  • \(C_t =\) Jahres-Coupon
  • \(r_A =\) Rendite (Effektivverzinsung)
  • \(Δt =\) Tage seit der letzten Coupon-Zahlung bis zum Erwerb


Rendite auf mittlerem Verfall


Berechnung mittlerer Verfall

\(\displaystyle n=n_1 +\frac{n_2}{2}\)
  • \(n =\) mittlere Laufzeit
  • \(n1 =\) Anzahl Jahre bis 1. Auslosung
  • \(n2 =\) Anzahl Jahre von 1. Auslosung bis Rückzahlung


Bankenformel

\(\displaystyle r_A=\frac{C+\frac{P-P_t}{n}}{\frac{R+P_t}{2}}·100\)
  • \(r_A =\) Rendite(Effektivverzinsung)
  • \(P_T =\) Börsen-/Tagespreis
  • \(C =\) Jahres-Coupon
  • \(n =\) mittlere Laufzeit
  • \(R =\) Rücknahmepreis


Duration


Berechnung

\(\displaystyle D=\frac{\sum_{t=1}^n \left( \frac {\large{C_t}} {\large{(1+r_M)^t}} ·t \right) }{P_0} \)
  • \(D =\) Duration
  • \(P_0 =\) Börsen- / Tagespreis
  • \(C_t =\) Cash-Flows(Cps. oder Rückzahlung)
  • \(r_M =\) Marktzins oder, falls nicht vorhanden, Rendite auf Verfall
  • \(t =\) Dauer, z.T. auf Tage genau


Anwendung (als modified Duration)

\(\displaystyle ΔC≈\frac{-D}{1+r_A}·Δp_{real}\)
  • \(D =\) Duration
  • \(ΔC =\) Veränderung des Obligationen-Kurs (in %)
  • \(r_A =\) Rendite auf Verfall (in %)
  • \(Δp_{real}=\) Veränderung des Marktzinses (in %)