Berechnung der Linien und Segmente von Dreiecke
Bei einem Dreieck gibt es verschiedene Linien-Segmente mit einem Schnittpunkt.
Eine Höhe eines Dreiecks ist eine rechtwinklige Gerade von einem Eckpunkt zu seiner gegenüberliegenden Seite
Die Höhe eines Dreiecks kann von jedem Eckpunkt aus gezeichnet werden, deshalb hat jedes Dreieck drei Höhen
Wenn sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, wird ihr Schnittpunkt ein Orthozentrum genannt
Ein Orthozentrum kann innerhalb, auf oder außerhalb des Dreiecks liegen, abhängig von seinen Winkeln
Der Median oder Seitenhalbierende eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt seiner gegenüberliegenden Seite verbindet
Da der Median eines Dreiecks von jedem Eckpunkt aus gezeichnet werden kann, hat jedes Dreieck drei Mediane
Im Gegensatz zu Höhen bilden Mediane keinen rechten Winkel mit der Seite, die sie schneiden
Eine Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke gleicher Fläche und gleicher Höhe
Der Punkt der Parallelität der drei Mediane eines Dreiecks wird der Schwerpunkt genannt
Der Schwerpunkt befindet sich immer innerhalb des Dreiecks und teillt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Dabei die Entfernung von jedem Eckpunkt zum Schwerpunkt des Dreiecks doppelt so lang wie die Entfernung zur gegenüberliegenden Seite
P ist der Schwerpunkt, der die Mediane im Verhältnis 2:1 teilt
Die Längen der Seitenhalbierenden des Dreiecks \(a\), \(b\) und \(c\) berechnet man mit den folgenden Formeln
\(\displaystyle Pa=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}\)
\(\displaystyle Pb=\frac{\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}}{2}\)
\(\displaystyle Pc=\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{2}\)
Eine Winkelhalbierende in einem Dreieck ist eine Gerade, die aus einem Scheitelpunkt gezogen wird und den Scheitelwinkel halbiert
Genau wie Höhen und Mediane hat jedes Dreieck drei Winkelhalbierende, entsprechend den drei Eckpunkten
Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks wird als Mittelpunkt des Inkreises bezeichnet
Der Mittelpunkt befindet sich immer innerhalb des Dreiecks und ist von jeder der drei Seiten eines Dreiecks gleich weit entfernt
Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Linie, die durch den Mittelpunkt einer Seite verläuft und ist senkrecht zu dieser gegebenen Seite
Jedes Dreieck hat drei Senkrechte
Der Schnittpunktt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks heißt der Umkreismittelpunkt
Der Umkreismittelpunkt kann innerhalb, auf oder außerhalb des Dreiecks liegen und ist abhängig von den Winkeln der Eckpunkte
Eine Mittellinie eines Dreiecks verbindet die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks
Die Mittellinie verläuft parallel zur dritten Seite des Dreiecks.
Die Länge der Mittellinie ist die Hälfte der Länge der parallel laufenden Seite