Linien und Segmente im Dreieck

Berechnung der Linien und Segmente von Dreiecke

Linien und Segmente von Dreiecke

Bei einem Dreieck gibt es verschiedene Linien-Segmente mit einem Schnittpunkt.


Höhen


  • Eine Höhe eines Dreiecks ist eine rechtwinklige Gerade von einem Eckpunkt zu seiner gegenüberliegenden Seite

  • Die Höhe eines Dreiecks kann von jedem Eckpunkt aus gezeichnet werden, deshalb hat jedes Dreieck drei Höhen

  • Wenn sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, wird ihr Schnittpunkt ein Orthozentrum genannt

  • Ein Orthozentrum kann innerhalb, auf oder außerhalb des Dreiecks liegen, abhängig von seinen Winkeln


Mediane (Seitenhalbierende)


  • Der Median oder Seitenhalbierende eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt seiner gegenüberliegenden Seite verbindet

  • Da der Median eines Dreiecks von jedem Eckpunkt aus gezeichnet werden kann, hat jedes Dreieck drei Mediane

  • Im Gegensatz zu Höhen bilden Mediane keinen rechten Winkel mit der Seite, die sie schneiden

  • Eine Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke gleicher Fläche und gleicher Höhe

  • Der Punkt der Parallelität der drei Mediane eines Dreiecks wird der Schwerpunkt genannt

  • Der Schwerpunkt befindet sich immer innerhalb des Dreiecks und teillt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Dabei die Entfernung von jedem Eckpunkt zum Schwerpunkt des Dreiecks doppelt so lang wie die Entfernung zur gegenüberliegenden Seite 


P ist der Schwerpunkt, der die Mediane im Verhältnis 2:1 teilt

Die Längen der Seitenhalbierenden des Dreiecks \(a\), \(b\) und \(c\) berechnet man mit den folgenden Formeln

\(\displaystyle Pa=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}\)
\(\displaystyle Pb=\frac{\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}}{2}\)
\(\displaystyle Pc=\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{2}\)

Winkelhalbierende


  • Eine Winkelhalbierende in einem Dreieck ist eine Gerade, die aus einem Scheitelpunkt gezogen wird und den Scheitelwinkel halbiert

  • Genau wie Höhen und Mediane hat jedes Dreieck drei Winkelhalbierende, entsprechend den drei Eckpunkten

  • Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks wird als Mittelpunkt des Inkreises bezeichnet

  • Der Mittelpunkt befindet sich immer innerhalb des Dreiecks und ist von jeder der drei Seiten eines Dreiecks gleich weit entfernt



Mittelsenkrechte


  • Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks ist eine Linie, die durch den Mittelpunkt einer Seite verläuft und ist senkrecht zu dieser gegebenen Seite

  • Jedes Dreieck hat drei Senkrechte

  • Der Schnittpunktt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks heißt der Umkreismittelpunkt

  • Der Umkreismittelpunkt kann innerhalb, auf oder außerhalb des Dreiecks liegen und ist abhängig von den Winkeln der Eckpunkte



Mittellinien


  • Eine Mittellinie eines Dreiecks verbindet die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks 

  • Die Mittellinie verläuft parallel zur dritten Seite des Dreiecks.

  • Die Länge der Mittellinie ist die Hälfte der Länge der parallel laufenden Seite