Rechtwinkelige Dreiecke

Rechtwinkelige Dreiecke und Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck, das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist. Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie ist immer gegenüber vom rechten Winkel.

Basierend auf diesem rechtwinkligen Dreieck können Sie eine Gleichung mit dem Satz des Pythagoras wie folgt schreiben:

\(a^2+b^2=c^2\)

\(\sqrt{s^2+b^2}\)

Ein Pythagoreisches Tripel

Ein pythagoreisches Tripel oder pythagoreisches Zahlentripel wird von drei natürlichen Zahlen gebildet, die als Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks vorkommen können.

• Ein pythagoreisches Tripel ist ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Seiten im Verhältnis 3: 4: 5 stehen

• Die Seitenlängen müssen nicht 3, 4 und 5 messen; Sie müssen jedoch auf dieses Verhältnis reduzierbar sein

• Zum Beispiel die Seitelängen 9, 12 und 15 sind ein pythagoreisches Tripel, da sie sich auf das Verhältnis 3: 4: 5 reduzieren lassen. 

Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Sie können den Satz des Pythagoras für mehr verwenden, als Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu finden. Sie können auch den Satz des Pythagoras verwenden, um zu bestimmen, ob ein Dreieck scharf, rechts oder stumpf ist. Dies ist bekannt als Umkehrung des Satzes des Pythagoras, der wie folgt lautet:

• Wenn \(c^2 < a^2 + b^2\), dann ist das Dreieck spitz
  
  
• Wenn \(c^2 = a^2 + b^2\), dann ist das Dreieck rechtwinklig
  
  
• Wenn \(c^2 > a^2 + b^2\), dann ist das Dreieck stumpf

Spezielle rechtewinklige Dreiecke 

Zwei Arten von rechtwinkligen Dreiecken werden als spezielle rechtwinklige Dreiecke betrachtet. Eines der speziellen rechtwinkligen Dreiecke hat Winkel von 30°, 60° und 90°. Das andere spezielle rechtwinklige Dreieck hat Winkel, die 45°, 45° und 90° messen. Die Größe des Dreiecks spielt keine Rolle; es muss nur spezifische Maßnahmen für seine Winkel haben.

30°-60°-90° Dreiecke

Die Längen der Seiten eines \(30° - 60° - 90°\) Dreiecks stehen in einem Verhältnis von \(b=a·\sqrt{3}\)

Die Hypotenuse ist doppelt so lang wie die Seite \(a\), gegenüber dem \(30°\) Winkel.

• Also ist \(a = c/2\)
• Und \(b\) ist: \(b=c/2·\sqrt{3}\)

Mit diesen Informationen können Sie den Wert von a und b für das Dreieck bestimmen, wenn Ihnen der Wert von c bekannt ist.

45°-45°-90° Dreiecke

Die Seiten \(a\) eines 45° - 45° - 90° Dreiecks sind gleich lang.

• Das Verhälnis der Seitenlängen zur Hypotenuse ist \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• Daraus ergibt sich \(\displaystyle a=\frac{c}{\sqrt{2}}\)