Skalarprodukt und Winkel

Vektor Skalarprodukt und Vektor Multiplikation

Die Multiplikation von Vektoren ist in dem Abschnitt «Vektor berechnen» kurz beschrieben worden. Es wurde gezeigt, dass das Ergebnis kein Vektor, sondern eine reelle Zahl (Skalarprodukt) ist.

In diesem Abschnitt wird die Berechnung des Skalarprodukts beschrieben; und wie mit Hilfe des Skalarprodukts der Winkel zwischen den Vektoren errechnet werden kann.

Für zwei Vektoren \(\overrightarrow{x}=\left[\matrix{x_1\\⋮\\x_n}\right]\) und \(\overrightarrow{y}=\left[\matrix{y_1\\⋮\\y_n}\right]\)

definiert man das Skalarprodukt als \(\overrightarrow{x}·\overrightarrow{y}= x_1·y_1 + ⋯ + x_n·y_n\)

Beispiel

\(\overrightarrow{x}=\left[\matrix{1\\2\\3}\right]\)     \(\overrightarrow{y}=\left[\matrix{4\\5\\6}\right]\)     \(\overrightarrow{x}·\overrightarrow{y}= 1·4+2·5+3·6=4+10+18=32\)

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen

Aus dem oben beschriebenen Skalarprodukts und dem Betrag der Vektoren kann der von den Vektoren eingeschlossene Winkel berechnet werden.

Dazu wird folgende Formel verwendet:   \(\displaystyle cos ∡ (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})= \frac{\overrightarrow{x}·\overrightarrow{y}}{\left|\overrightarrow{x}\right|·\left|\overrightarrow{y}\right|}\)

Im folgenden Beispiel wird der Winkel der folgenden Vektoren berechnet:

\(\overrightarrow{x} =\left[\matrix{3\\0}\right]\)       \(\overrightarrow{y} =\left[\matrix{5\\5}\right]\)

\(\displaystyle cos ∡ (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})= \frac{\left[\matrix{3\\0}\right]·\left[\matrix{5\\5}\right]} {\left|\left[\matrix{3\\0}\right]\right|·\left|\left[\matrix{5\\5}\right]\right|} \) \(\displaystyle =\frac{3·5+0·5}{\sqrt{3^2+0^2}·\sqrt{5^2+5^2}}\)

                        \(\displaystyle = \frac{15}{3·\sqrt{2·5^2}}=\frac{15}{3·5·\sqrt{2}} = \frac{15}{15·\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Das Resultat ist   \(∡ (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})= arccos\frac{1}{\sqrt{2}}=45°\)

Die Abbildung unten zeigt die grafische Darstellung der Vektoren und des Winkels