Beispiel einer Berechnung im Vektorraum
Im folgenden Beispiel sollen die Kräfte \(F_A\) und \(F_B\) berechnet werden die auf die Punkte \(A\) und \(B\) wirken. Die nach unten ziehende Kraft wird mit \(10 Newton\) angenommen.
Der Punkt \(A\) liegt vom Ausgangspunkt \(0\) aus gesehen um \(-4\) Einheiten auf der x- und \(-2\) Einheiten auf der y-Achse.
Der Vektor A kann also mit \(\displaystyle \left[\matrix{-4\\-2}\right]\) beschrieben werden.
Für den Vektor B ergibt sich \(\displaystyle \left[\matrix{-4\\0}\right]\)
Die Kräfte, die auf die beiden Vektoren wirken sind damit definiert als
\(\displaystyle F_A=λ_A·\left[\matrix{-4\\-2}\right]\) und \(\displaystyle F_B=λ_B·\left[\matrix{-4\\0}\right]\)
Der Vektor, der nach unten wirkenden Kraft ist definiert als \(\displaystyle F=\left[\matrix{0\\10}\right]\)
Da die drei Kräfte der Vektoren im Gleichgewicht stehen müssen gilt die Gleichung \(F_A+F_B+F=0\)
Daraus kann abgeleitet werden:
\(\displaystyle \left( λ_A·\left[\matrix{-4\\-2}\right]\right) +\left( λ_B·\left[\matrix{-4\\0}\right]\right) + \left[\matrix{0\\10}\right] =\left[\matrix{0\\0}\right] \)
\(\displaystyle \left[\matrix{(-4 · λ_A)+(-4·λ_B)+0\\(-2·λ_A)+0+10}\right] =\left[\matrix{0\\0}\right] \)
Aus der Gleichung oben kann aus der zweiten Zeile die Berechnung für \(λ_A\) abgeleitet werden
\(\displaystyle -2·λ_A+10=0\)
\(\displaystyle -2·λ_A = 10\)
\(\displaystyle λ_A = \frac{-10}{-2}=5\)
Aus der ersten Zeile der Gleichung oben kann \(λ_B\) berechnet werden, indem man \(λ_A\) durch den Wert \(5\) ersetzt. Wird die Gleichung nach \(λ_B\) aufgelöst ergibt sich ein Wert von \((-5)\).
Berechnung der Druckkraft \(\displaystyle F_A=5·\left[\matrix{-4\\-2}\right]=\left[\matrix{-20\\-10}\right]\)
Betrag von \(\displaystyle F_A=\sqrt{(-20)^2+(-10)^2}=\sqrt{400+100}=\sqrt{500}=22.4 Newton\)
Berechnung der Zugkraft \(\displaystyle F_B=-5·\left[\matrix{-4\\0}\right]=\left[\matrix{20\\0}\right]\)
Betrag von \(\displaystyle F_B=\sqrt{20^2+0^2}=\sqrt{400}=20 Newton\)
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