Komplexe Zahlen Geometrie

Mit komplexen Zahlen lassen sich Operationen auch geometrisch darstellen. Mit der geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen kann man neue Zusammenhänge erkennen, die das Lösen weiterer Fragen ermöglichen.

Die Gaußsche Zahlenebene

Komplexe Zahlen sind definiert als Zahlen in der Form \(z = a + bi\); wobei \(i\) die imaginäre Einheit ist und \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind. Jede komplexe Zahl \(z\) ist also durch ein reelles Zahlenpaar \((a, b)\) eindeutig festgelegt. Umgekehrt gehört zu jeder komplexen Zahl \(z\) ein reelles Zahlenpaar \((a, b)\).

Die geometrische Darstellung komplexer Zahlen ist folgendermaßen festgelegt

Einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) wird der Punkt \((a, b)\) in der Gaußschen Zahlenebene zugeordnet. Die Gaußsche Zahlenebene ähnelt dem kartesischen Koordinatensystem, sie unterscheidet sich von dem in der Bezeichnung der Achsen.

Die x-Achse repräsentiert den realen Teil der komplexen Zahl, sie heißt reelle Achse und wird mit \(ℝ\) oder \(Re\) bezeichnet.

Die y-Achse repräsentiert den imaginären Teil der komplexen Zahl. Diese Achse heißt entsprechend imaginäre Achse und wird mit \(iℝ\) bezeichnet oder \(Im\) bezeichnet.

Der Koordinatenursprung heißt Nullpunkt.

Auf der komplexen Ebene liegt die Zahl \(1\) eine Einheit rechts des Nullpunkts auf der reellen Achse und die Zahl \(i\) eine Einheit oberhalb des Nullpunkts auf der imaginären Achse. In der Abbildung unten wird die Zahl \(4 + 3i\) dargestellt.

Als weiteres Beispiel zeigt die nächste Abbildung die Gaußsche Zahlenebene mit den komplexen Zahlen \(-4 + 5i\), \(-4 – 5i\), \(5 + 3i\) und \(5 - 3i\)

Die nächste Abbildung zeigt die komplexen Zahlen \(w\) und \(z\) und die zu ihnen entgegengesetzten Zahlen \(-w\) und \(-z\), sowie die konjugiert komplexen Zahlen \(\overline{w}\) und \(\overline{z}\)

Die Position einer entgegengesetzten Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene eine Punktspiegelung um den Nullpunkt. Denn es gilt

\(-z=-(a+bi)=-a+(-b)i\)

Die Position der konjugiert komplexen Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene eine Achsenspiegelung an der reellen Achse. Denn es gilt

\(\displaystyle \overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi=a+(-b)i\)

Die entgegengesetzte Zahl \(-ω\) zu \(ω\), bzw. die konjugiert komplexe Zahl zu \(z\) spielt eine wichtige Rolle beim Lösen von quadratischen Gleichungen. Mit \(ω\) ist auch immer \(-ω\) eine Lösung von \(ω2 = D\), auch wenn die Diskriminante \(D\) nicht reell ist. Denn es ist \((-ω)2 = ω2 = D\).

Ist \(z\) eine nicht reelle Lösung der quadratischen Gleichung \(az^2 +bz +c = 0\) mit reellen Koeffizienten \(a, b, c\), dann ist auch immer \(z\) eine Lösung dieser Gleichung. Dies geht aus der Lösungsformel hervor. Es gilt: Nicht reelle Lösungen einer quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten liegen in der Gaußschen Zahlenebene symmetrisch bezüglich der reellen Achse.

Zusammenfassung

Dem Bilden der entgegengesetzten Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene eine Spiegelung um den Nullpunkt.

Dem Bilden der konjugiert komplexen Zahl entspricht in der Gaußschen Zahlenebene eine Achsenspiegelung um die reellen Achse.