Einführung mit Beispielen zum Rechnen mit komplexer Zahlen
Im Artikel ueber komplexe Zahlen wurde geschrieben, dass die Rechenregeln für reelle Zahlen auch für komplexe Zahlen gelten sollen. In diesem Artikel wird beschrieben wie Sie mit komplexen Zahlen rechnen können.
Als ersten betrachten die Addition von komplexen Zahlen an einem Beispiel. Nehmen wir einmal an, wir wollen \(\,3 + i\,\) und \(\,1 - 2i\,\) addieren. Gesucht ist also:
\((3+i)+(1-2i)\)
Nach dem Permanenz-Prinzip sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen weiterhin gültig sein. Das bedeutet wir gehen so vor, wie wir es bei reellen Zahlen tun würden. Wir würden die beiden reellen Ausdrücke \(3\) und \(1\) zusammenfassen, und ebenso die beiden imaginären Ausdrücke \(i\) und \(-2i\).
Genauso rechnen wir hier:
\((3+i)+(1-2i)=3+i+1-2i=(3+1)+(i-2i)=4-i\)
Das Ergebnis der Rechnung lautet also \(4 - i\).
Bei der Subtraktion einer komplexen Zahl werden die reellen Ausdrücke und die imaginären Ausdrücke genauso zusammengefasst. Es muss lediglich beachtet werden, dass sich durch das Minuszeichen bei der zweiten Zahl die Vorzeichen ändert. Das ist Ihnen bekannt vom Rechnen mit reellen Zahlen.
Als Beispiel subtrahieren wir die Zahlen aus dem Beispiel oben:
\((3+i)-(1-2i)=3+i-1+2i=(3-1)+(i+2i)=2+3i\)
Das Ergebnis der Rechnung lautet also \(2 + 3i\).
Zusammenfassend kann man sagen, komplexe Zahlen werden addiert, indem man die Realteile und die Imaginärteile separat addiert. Das Entsprechende gilt für die Subtraktion. Komplexe Zahlen werden subtrahiert, indem man die Realteile und die Imaginärteile separat subtrahiert.
In diesem Absatz wird die beschrieben wie zwei komplexe Zahlen miteinander multipliziert werden. Als Beispiel verwenden wir wieder die beiden Zahlen \(3 + i\) und \(1 - 2i\). Berechnet werden soll also
\((3+i)·(1-2i)\)
Nach dem Permanenz-Prinzip sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen weiterhin gelten. Wir werden daher zunächst, die Klammer ganz normal ausmultiplizieren. Wir schreiben also
\((3+i)·(1-2i)=(3·1)+(3·(-2i))+i+(i·(-2i))=3-6i+i-2i^2\)
Neben Ausdrücke mit \(i\) kommt in der Formel auch \(i^2\) vor. Dieses \(i^2\) können wir leicht ersetzen. Nach der Definition von \(i\) ist ja \(i^2 = -1\). Wir ersetzen also \(i^2\) durch die Zahl \(-1\) und rechnen mit dem Resultat von oben wie gewohnt weiter.
\(3-6i+i-2i^2=3-6i+i-2·(-1)=3-5i+2=5-5i\)
Das Ergebnis der Rechnung ist \(5 - 5i\).
Dieser Artikel beschreibt die Multiplikation komplexer Zahlen in Normalform. Einfacher zu berechnen ist die Multiplikation komplexer Zahlen in Polarform.
Bevor wir zur Division von komplexen Zahlen kommen, fuhren wir einen neuen Begriff ein. Jede komplexe Zahl besitzt eine so genannte konjugiert komplexe Zahl. Diese konjugiert komplexe Zahlen werden hier bei der Division benötigt, aber wir werden auch in anderen Kapiteln ebenfalls darauf zurückkommen.
Als Beispiel nehmen wir die Zahl \(5+3i\) . Die zu\(5+3i\) konjugiert komplexe Zahl ist\(5-3i\) Die Realteile der beiden Zahlen sind gleich, die Imaginärteile der beiden unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
Sehen wir uns das Produkt der beiden Zahlen an
\((3+3i)·(5-3i)=25-15i+15i-9i^2=25+9=34\)
Das Produkt der komplexen Zahlen und ihrer konjugierten ist reell. Dies ist eine besondere Eigenschaft konjugiert komplexer Zahlen, die sich immer wieder als nützlich erweisen wird.
Für die konjugiert komplexe Zahl \(a-bi\) schreibt man \(\overline{z}=a-bi\).
Im Beispiel oben gilt also \(\overline{5+3i}=5-3i\)
Befassen wir uns jetzt dem Dividieren von komplexen Zahlen. Im nächsten Beispiel werden wir die Zahl \(3 + i\) durch die Zahl \(1 - 2i\) teilen. Gesucht ist also
\(\displaystyle(3+i)\,/\,(1-2i)=\frac{3+i}{1-2i}\)
Nach dem Permanenz-Prinzip sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen hier gültig sein. Dabei stört uns, dass im Nenner des Bruchs das \(i\) vorkommt. Durch eine reelle Zahl zu teilen wäre dagegen ganz einfach.
Hier kommt die konjugiert komplexe Zahl ins Spiel. Der Bruch wird um die konjugiert komplexe Zahl \(1 + 2i\) des Nenners erweitert. Dadurch kann das \(i\) im Nenner gekürzt werden und der Nenner wird eine reelle Zahl. Nur im Zähler bleibt eine komplexe Zahl, die aber leicht ausmultipliziert werden kann.
Die Division sieht also folgendermaßen aus
\(\displaystyle\frac{3+i}{1-2i}=\frac{(3+i)·(1+2i)}{(1-2i)·(1+2i)}=\frac{3+6i+i-2}{1+2i-2i+4}=\frac{1+7i}{5}=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)
Das Ergebnis lautet \(\displaystyle\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)
Dieser Artikel beschrieb die Division komplexer Zahlen in Normalform. Einfacher zu berechnen ist die Division komplexer Zahlen in Polarform.
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