Inverse und Simultane Gleichungen

Beschreibung von Matrizen und simultane Gleichungen mit Beispielen

Inverse einer 2 x 2 Matrix

Es gibt eine schnelle Methode, um eine Inverse für eine 2 x 2-Matrix zu erhalten. Dies ist ein Spezialfall der Cramerschen Regel, die zur Lösung von Gleichungssystemen verwendet wird.

Die Inverse von \(\displaystyle \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)   ist   \(\displaystyle \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\)

Es gibt drei Schritte zum Invertieren einer 2x2-Matrix:

  • Tausche die diagonalen Elemente aus

  • Ändern Sie das Vorzeichen der anderen Elemente

  • Teilen Sie jedes Element nach \(ad-bc\)

Was passiert, wenn oben in der Formel \(ad = bc\) ? Dann würden wir versuchen, durch Null zu teilen, und folglich gibt es keine Umkehrung. In diesem Fall nennen wir die ursprüngliche Matrix A eine singuläre Matrix. Wenn die Matrix eine Inverse hat, sagen wir, dass die Matrix nicht singulär ist.

Eine andere Möglichkeit, \(ad = bc\) zu erhalten ist, wenn die zweite Zeile der Matrix ein Vielfaches der ersten ist.

Ohne die Inverse Matrix tatsächlich zu berechnen, können wir entscheiden, ob eine Inverse existiert, indem wir einfach eine einzelne Zahl berechnen, den Nenner in der Formel. Dieser Nenner wird Determinante genannt.

Wenn die Determinante gleich Null ist, handelt es sich um eine singuläre Matrix, die also nicht invertiert werden kann.

Die Cramers-Regel existiert auch für größere Matrizen, ist aber rechnerisch sehr ineffizient. Daher ist es hilfreich besonders für große Matrizen, wenn wir vor dem Start feststellen können, ob das Inverse existiert. Das kann indem man auch für große Matrizen eine einzelne Zahl definiert, die die Matrix charakterisiert - wiederum heißt sie Determinante der Matrix


Matrizen und simultane Gleichungen

Die Matrixmultiplikation kann verwendet werden, um simultane Gleichungen zu berechnen.

Die Gleichung

\(x+y=3\)
\(2x+3y=1\)

entspricht dem folgenden Matrixausdruck bei Anwendung der Multiplikationsregel

\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Die Art und Weise, wie Matrizen multipliziert werden, erlaubt es einen ganzen Satz von linearen Gleichungen als eine einzige Gleichung zu schreiben, die Matrizen anstelle von Zahlen enthält.

Wenn die Symbole in dieser Gleichung Zahlen wären, könnte sie leicht durch Division zu gelöst werden. Obwohl in der Gleichung Symbole verwendet werden, können wir eine Division vermeiden, wenn wir mit dem reziproken Wert multiplizieren. Anstatt durch \(x\) zu teilen, können wir genauso gut mit \(x^{-1}\) multiplizieren.

Die Umkehrung bei einer Matrix ist nicht einfach zu berechnen. Sie können nur eine Inverse finden, wenn es sich um eine quadratische Matrix handelt, aber auch dann nicht immer.

In diesem Beispiel oben ist die Inverse von \(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\)

Jetzt können Sie die obige Inverse verwenden, um die Werte von \(x\) und \(y\) zu berechnen

\(\displaystyle \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ -5 \end{bmatrix}\)

Das Resultat: \(x = 8\) und \(y = -5\)