Matrizen Rotation

Eine Polar Koordinate kann durch ein Zahlenpaar\( (x, y)\) beschrieben werden. Die Zahlen sind die Entfernung von der y-Achse und von der x-Achse im Koordinatensystem. Alle Koordinaten links von der y-Achse haben eine negative x-Koordinate. Alle Punkte unterhalb der x-Achse haben eine negative y-Koordinate.

Statt mit dem Ausdruck \((x, y)\) können wir den Punkt mit dem Radius \(r\) und dem Winkel \(θ\) als \((r, θ)\) beschreiben.

\(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}\)             \(\displaystyle tan(θ)=\frac{y}{x}\)

Im Diagramm oben, ist \(r\) die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Die x-Position kann nach der folgenden Formel aus dem Radius \(r\) und dem Winkel \(θ\) berechnet werden

\(x=r·cos(θ)\)

Die y-Position errechnet sich dem entsprechend aus der Formel

\(y=r·sin(θ)\)

In der folgenden Abbildung haben wir den Punkt (x, y) um den Winkel φ gedreht. Wir haben jetzt

\(x'=r·cos(θ+φ)\)        \(y'=r·sin(θ+φ)\)

In einer Matrixform geschrieben sieht es so aus:

\(\displaystyle \left[\matrix{x'\\y'}\right] = \left[\matrix{cos(φ) & - sin(φ) \\ sin(φ) & cos(φ)}\right] \left[\matrix{x \\ y }\right] \)

Das Beispiel unten zeigt eine Matrix welche den Vektor um einen Winkel von \(φ = 30°\) dreht.

\(\displaystyle \left[\matrix{cos(30) & - sin(30) \\ sin(30) & cos(30)}\right] = \left[\matrix{0.866 & - 0.5 \\ 0.5 & 0.866}\right] \)

Mit dieser Matrix wird der Positionsvektor für den Punkt (1,0) festgelegt

\(\displaystyle \left[\matrix{x' \\ y'}\right] = \left[\matrix{0.866 & - 0.5 \\ 0.5 & 0.866}\right] · \left[\matrix{1 \\ 0}\right] =\left[\matrix{0.866 \\ 0.5}\right] \)

Eine Drehung im 3-Raum, gegen den Uhrzeigersinn, zeigen die folgenden Matrizen

Drehung um die X-Achse

\(\displaystyle \left[\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(φ) & - sin(φ) \\ 0 & sin(φ) & cos(φ) }\right] \)

Drehung um die Y-Achse

\(\displaystyle \left[\matrix{cos(φ) & 0 & sin(φ) \\ 0 & 1 & 0 \\ - sin(φ) & 0 & cos(φ) }\right] \)

Drehung um die Z-Achse

\(\displaystyle \left[\matrix{cos(φ) & - sin(φ) & 0 \\ sin(φ) & cos(φ) & 0 \\ 0 & 0 & 1}\right] \)