Zeilenoperationen einer Matrix

Beschreibung und Beispiele zu elementaren Zeilenoperationen einer Matrix

Elementare Zeilenoperationen einer Matrix

Es gibt drei Arten von elementaren Matrixzeilenoperationen, die den Operationen entsprechen, die auf Gleichungen angewendet werden, um Variablen zu eliminieren:

  • Hinzufügen eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

  • Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (nicht Null)

  • Austausch von zwei Zeilen

Diese Operationen können manuell durchgeführt werden, aber auch durch Matrizenmultiplikation mit einer gegebenen Matrix und einer modifizierten Identitätsmatrix. Wie das geht, zeigen die Beispiele unten.


Hinzufügen eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen

  • Platzieren von k in der zweiten Spalte der Zeile 3 der Identitätsmatrix

  • dann Multiplizieren der Identitätsmatrix mit der Matrix A

  • Dies hat k-mal die Werte korrespondierenden Elemente der Zeile 2 zu denen der Zeile 3 der Matrix hinzugefügt

\(\displaystyle \left[\matrix{1&0&0\\0&1&0\\0&k&1}\right]˙ \left[\matrix{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}\right]= \left[\matrix{a&b&c\\d&e&f\\kd+g&ke+h&kf+i}\right]\)

Der Wert der Determinante im Resultat ist identisch mit dem Wert der Ursprungsmatrix \(A\)


Multiplizieren einer Zeile mit einem Skalar ungleich Null:

\(\displaystyle \left[\matrix{1&0&0\\0&k&0\\0&0&1}\right] · \left[\matrix{a&b&cd\\d&e&f\\g&h&i}\right]= \left[\matrix{a&b&c\\kd&ke&kf\\g&h&i}\right]\)

Der Wert der Determinante im Resultat ist \(k\)-mal dem Wert der Ursprungsmatrix \(A\)


Vertauschen von zwei Zeilen

\(\displaystyle \left[\matrix{1&0&0\\0&0&1\\0&1&0}\right]˙ \left[\matrix{a&b&c\\d&e&f\\g&h&i}\right]= \left[\matrix{a&b&c\\g&h&i\\s&e&f}\right]\)

Der Wert der Determinante im Resultat ist identisch mit dem Wert der Ursprungsmatrix \(A\)