Biegebalken Rechner
Biegemoment · Durchbiegung · Biegespannung · Statik
Biegebalken-Rechner
Gleichmäßig verteilte Last (z. B. Deckeneigenlast + Nutzlast)
Formeln & Diagramme
Einfach gelagerter Träger
Mmax in Mitte, f_max in Mitte
Gleichstreckenlast (einf. gelagert):
M_max = q · L² / 8 [kN·m]
f_max = 5·q·L⁴ / (384·E·I) [mm]
A_L = A_R = q·L/2 (Auflagerkräfte)
M_max = q · L² / 8 [kN·m]
f_max = 5·q·L⁴ / (384·E·I) [mm]
A_L = A_R = q·L/2 (Auflagerkräfte)
Einzellast F in Trägermitte:
M_max = F · L / 4 [kN·m]
f_max = F·L³ / (48·E·I) [mm]
A_L = A_R = F/2 (Auflagerkräfte)
M_max = F · L / 4 [kN·m]
f_max = F·L³ / (48·E·I) [mm]
A_L = A_R = F/2 (Auflagerkräfte)
Kragarm
(eingespannt) (frei)
M_max an Einspannung, f_max am Ende
Kragarm – Einzellast am freien Ende:
M_max = F · L [kN·m]
f_max = F·L³ / (3·E·I) [mm]
M_max = F · L [kN·m]
f_max = F·L³ / (3·E·I) [mm]
Biegespannung:
σ_b = M / W_y = M · e / I [N/mm²]
W_y = I / e [cm³]
e = Randfaserabstand [mm]
σ_b = M / W_y = M · e / I [N/mm²]
W_y = I / e [cm³]
e = Randfaserabstand [mm]
Durchbiegungsgrenzwerte (EC3/EC5):
f_lim = L / 300 (Wohndecken, Nutzlast)
f_lim = L / 250 (Stahl allgemein)
f_lim = L / 500 (Trennwände drauf)
L = Stützweite in mm; f in mm vergleichen
f_lim = L / 300 (Wohndecken, Nutzlast)
f_lim = L / 250 (Stahl allgemein)
f_lim = L / 500 (Trennwände drauf)
L = Stützweite in mm; f in mm vergleichen
Symbolerklärung
| q | Gleichstreckenlast [kN/m] |
| F | Einzellast [kN] |
| L | Stützweite / Länge [m] |
| E | Elastizitätsmodul [N/mm²] |
| I_y | Flächenträgheitsmoment [cm⁴] |
| e | Randfaserabstand [mm] |
| M_max | Maximales Biegemoment [kN·m] |
| f_max | Maximale Durchbiegung [mm] |
| σ_b | Biegespannung [N/mm²] |
| W_y | Widerstandsmoment [cm³] |
Biegebalken – Grundlagen der Statik
Was ist ein Biegebalken?
Ein Biegebalken ist das grundlegendste Tragwerkselement im Bauwesen. Er überträgt senkrecht zu seiner Längsachse wirkende Lasten über Biegemomente und Querkräfte zu den Auflagern. Jede Decke, jeder Unterzug, jeder Stahlträger und jede Holzpfette ist im Kern ein Biegebalken – und muss auf ausreichende Tragfähigkeit (Biegespannung ≤ zulässige Spannung) und Gebrauchstauglichkeit (Durchbiegung ≤ Grenzwert) nachgewiesen werden.
E-Moduln häufiger Baustoffe
| Baustoff | E [N/mm²] | f_yk [N/mm²] |
|---|---|---|
| Stahl S235 | 210 000 | 235 |
| Stahl S355 | 210 000 | 355 |
| Beton C25/30 | 31 000 | – |
| Beton C35/45 | 35 000 | – |
| Holz GL28h | 12 600 | 28 |
| Aluminium | 70 000 | ~270 |
Typische Stahlprofile I_y [cm⁴]
| Profil | I_y [cm⁴] | W_y [cm³] |
|---|---|---|
| IPE 200 | 1 943 | 194 |
| IPE 270 | 5 790 | 429 |
| IPE 360 | 16 270 | 904 |
| HEB 200 | 5 696 | 570 |
| HEB 300 | 25 170 | 1678 |
Detaillierte Formelherleitung
1. Biegemoment und Querkraft – einfach gelagerter Balken, Gleichstreckenlast
Auflagerkräfte: A_L = A_R = q · L / 2
Querkraftverlauf: linear von +qL/2 (links) nach –qL/2 (rechts)
Biegemoment max. in Mitte: M_max = q · L² / 8
Beispiel: q = 10 kN/m, L = 5 m → M_max = 10 × 25 / 8 = 31,25 kN·m
Querkraftverlauf: linear von +qL/2 (links) nach –qL/2 (rechts)
Biegemoment max. in Mitte: M_max = q · L² / 8
Beispiel: q = 10 kN/m, L = 5 m → M_max = 10 × 25 / 8 = 31,25 kN·m
2. Durchbiegung – Gleichstreckenlast (Euler-Bernoulli)
f_max = 5 · q · L⁴ / (384 · E · I)
Einheiten: q [N/mm] (1 kN/m = 1 N/mm), L [mm], E [N/mm²], I [mm⁴], f [mm]
Beispiel: q = 10 kN/m = 10 N/mm, L = 5 000 mm, E = 210 000 N/mm², I = 5 790 cm⁴ = 57,9×10⁶ mm⁴
f = 5 × 10 × 5000⁴ / (384 × 210 000 × 57 900 000) = 3,56 mm
Grenzwert L/300 = 5000/300 = 16,7 mm → ✓ eingehalten
Einheiten: q [N/mm] (1 kN/m = 1 N/mm), L [mm], E [N/mm²], I [mm⁴], f [mm]
Beispiel: q = 10 kN/m = 10 N/mm, L = 5 000 mm, E = 210 000 N/mm², I = 5 790 cm⁴ = 57,9×10⁶ mm⁴
f = 5 × 10 × 5000⁴ / (384 × 210 000 × 57 900 000) = 3,56 mm
Grenzwert L/300 = 5000/300 = 16,7 mm → ✓ eingehalten
3. Biegespannung nach Navier
σ_b = M / W_y = M · e / I_y
W_y = I_y / e = Widerstandsmoment [cm³]
Beispiel: M = 31,25 kN·m, I_y = 5 790 cm⁴, e = 135 mm (IPE 270 h/2)
σ = 31,25 × 10⁶ N·mm × 135 mm / (5 790 × 10⁴ mm⁴) = 72,8 N/mm²
Stahl S235: σ_zul = 235/1,1 = 214 N/mm² → ✓ ausreichend
W_y = I_y / e = Widerstandsmoment [cm³]
Beispiel: M = 31,25 kN·m, I_y = 5 790 cm⁴, e = 135 mm (IPE 270 h/2)
σ = 31,25 × 10⁶ N·mm × 135 mm / (5 790 × 10⁴ mm⁴) = 72,8 N/mm²
Stahl S235: σ_zul = 235/1,1 = 214 N/mm² → ✓ ausreichend
4. Kragarm – maximales Biegemoment und Durchbiegung
M_max = F · L (an der Einspannstelle)
f_max = F · L³ / (3 · E · I) (am freien Ende)
Achtung: Kragarm hat 16× größere Durchbiegung als einf. gelagerter Balken gleicher Länge bei Einzellast (f_Kragarm/f_einf = 48/3 = 16 ×). Querschnittserhöhung oder kürzerer Kragarm empfehlenswert.
f_max = F · L³ / (3 · E · I) (am freien Ende)
Achtung: Kragarm hat 16× größere Durchbiegung als einf. gelagerter Balken gleicher Länge bei Einzellast (f_Kragarm/f_einf = 48/3 = 16 ×). Querschnittserhöhung oder kürzerer Kragarm empfehlenswert.
Praxisbeispiel: Deckenbalken im Wohnungsbau
Aufgabe:
Holzbalkendecke: Trägerlänge L = 4,0 m, Achsabstand 0,625 m. Lasten: Eigengewicht 0,75 kN/m² + Nutzlast 2,0 kN/m² = 2,75 kN/m². Streckenlast je Balken: q = 2,75 × 0,625 = 1,72 kN/m. Holz GL28h: E = 12 600 N/mm². Querschnitt b/h = 8/22 cm.
Lösung:
- I_y = 8 × 22³/12 = 7 099 cm⁴
- M_max = 1,72 × 4,0² / 8 = 3,44 kN·m
- W_y = 7099 / 110 mm = 645 cm³ → σ = 3440000 × 110 / (7099 × 10⁴) = 5,3 N/mm² < 28 N/mm² ✓
- f = 5 × 1,72 × 4000⁴ / (384 × 12600 × 70990000) = 8,1 mm
- Grenzwert L/300 = 13,3 mm → ✓ eingehalten
Häufige Fragen
Eurocode 3 (Stahl) und EC5 (Holz) geben typische Grenzwerte:
L/300 für charakteristische Nutzlast (Wohndecken),
L/250 für Gesamtdurchbiegung bei Stahl,
L/500 wenn nicht-tragende Trennwände aufgesetzt werden.
Die konkreten Anforderungen hängen von der Nutzung, dem Ausbaustandard
und den nationalen Anhängen ab – stets mit dem Tragwerksplaner abstimmen.
I_y (Flächenträgheitsmoment) beschreibt den Widerstand des Querschnitts
gegen Biegeverformung – es geht in die Durchbiegungsformel ein.
W_y = I_y / e (Widerstandsmoment) beschreibt den Widerstand gegen
Biegespannung – es geht in die Spannungsformel σ = M/W ein.
Beide Kennwerte steigen mit größerer Querschnittshöhe h: I ∝ h³, W ∝ h².
Deshalb ist eine Erhöhung des Querschnitts sehr viel wirksamer als eine Verbreiterung.
Der einfach gelagerte Balken mit Einzellast in Mitte hat f = FL³/(48EI),
der Kragarm f = FL³/(3EI). Das Verhältnis ist 48/3 = 16-fach!
Ursache: Der Kragarm ist an einem Ende eingespannt (erzwingt Momentenübertragung)
und kann am freien Ende ungehindert ausweichen. Kragarme werden deshalb typisch
mit deutlich größeren Querschnitten ausgeführt oder begrenzt auf L ≤ 1,5–2 m.
Rechteckquerschnitt (Breite b, Höhe h):
I_y = b·h³ / 12 [cm⁴] bei Eingabe in cm.
Widerstandsmoment: W_y = b·h²/6 [cm³]
Beispiel: b = 20 cm, h = 30 cm → I_y = 20×27000/12 = 45 000 cm⁴, W_y = 20×900/6 = 3 000 cm³
Widerstandsmoment: W_y = b·h²/6 [cm³]
Beispiel: b = 20 cm, h = 30 cm → I_y = 20×27000/12 = 45 000 cm⁴, W_y = 20×900/6 = 3 000 cm³
Für Stahlbetonträger gelten die Formeln qualitativ – der E-Modul
des Betons (z. B. C25/30: 31 000 N/mm²) und das Flächenträgheitsmoment
des ideellen Querschnitts sind einzusetzen. Bei Stahlbeton ist aber
der gerissene Zustand (Zustand II) maßgebend – die effektive Biegesteifigkeit
EI_eff ist kleiner als die des Bruttoquerschnitts. Für genaue Berechnungen
sollte EC2 und ggf. eine Statik-Software verwendet werden.
Zusammenfassung
Biegemoment
M = q·L²/8 | M = F·L/4
Kragarm: M = F·L
Durchbiegung
f = 5qL⁴/(384EI)
Grenzwert: L/300 bis L/500
Biegespannung
σ = M / W_y
≤ f_yk / γ_M (Nachweis)
Typische Anwendungen
- Hochbau: Holzbalkendecken, Stahlunterzüge, Stahlbeton-Plattenbalken
- Industriebau: Kranbahnen, Laufstege, Kranträger (Einfeldträger)
- Brückenbau: Brückenträger, Nebenträger, Querträger
- Maschinenbau: Maschinengestelle, Führungsschienen, Prüfrahmen
- Kragarm: Balkone, Auskragungen, Konsolenträger
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