Flächenträgheitsmoment Rechner
I_y · W_y · Querschnittsauslegung · Steiner-Anteil
Querschnitts-Rechner
Formeln & Querschnittsübersicht
Rechteck (b × h):
I_y = b · h³ / 12 [cm⁴]
W_y = b · h² / 6 [cm³]
e = h/2 | A = b · h [cm²]
I_y = b · h³ / 12 [cm⁴]
W_y = b · h² / 6 [cm³]
e = h/2 | A = b · h [cm²]
Rechteck-Hohlprofil (konzentrisch):
I_y = (b_a · h_a³ − b_i · h_i³) / 12 [cm⁴]
W_y = I_y / (h_a/2) [cm³]
I_y = (b_a · h_a³ − b_i · h_i³) / 12 [cm⁴]
W_y = I_y / (h_a/2) [cm³]
Kreis (Vollquerschnitt, ∅ d):
I_y = π · d⁴ / 64 [cm⁴]
W_y = π · d³ / 32 [cm³]
e = d/2
I_y = π · d⁴ / 64 [cm⁴]
W_y = π · d³ / 32 [cm³]
e = d/2
Kreisring / Rohr (D außen, d innen):
I_y = π · (D⁴ − d⁴) / 64 [cm⁴]
W_y = I_y / (D/2) [cm³]
I_y = π · (D⁴ − d⁴) / 64 [cm⁴]
W_y = I_y / (D/2) [cm³]
I-/H-Profil (vereinfacht):
I_y = (b·H³ − (b−t_w)·h_w³) / 12 [cm⁴]
h_w = H − 2·t_f (Steghöhe)
W_y = I_y / (H/2) [cm³]
I_y = (b·H³ − (b−t_w)·h_w³) / 12 [cm⁴]
h_w = H − 2·t_f (Steghöhe)
W_y = I_y / (H/2) [cm³]
Steiner'scher Anteil (Parallelachsenversatz):
I_gesamt = I_S + A · d² [cm⁴]
I_S = Eigenträgheitsmoment im Schwerpunkt
A = Fläche des Teilquerschnitts, d = Achsabstand
I_gesamt = I_S + A · d² [cm⁴]
I_S = Eigenträgheitsmoment im Schwerpunkt
A = Fläche des Teilquerschnitts, d = Achsabstand
Widerstandsmoment (allgemein):
W_y = I_y / e [cm³]
e = Abstand Schwerpunkt – Randfaser [mm → cm: /10]
W_y = I_y / e [cm³]
e = Abstand Schwerpunkt – Randfaser [mm → cm: /10]
Einheiten & Umrechnungen
| I [cm⁴] | × 10⁴ → mm⁴ ÷ 10⁴ → m⁴ |
| W [cm³] | × 10³ → mm³ σ = M[kN·m]×10⁶ / W[mm³] |
| A [cm²] | × 100 → mm² ÷ 10⁴ → m² |
Richtwerte Stahlprofile
| Profil | I_y [cm⁴] | W_y [cm³] | A [cm²] |
|---|---|---|---|
| IPE 200 | 1 943 | 194 | 28,5 |
| IPE 270 | 5 790 | 429 | 45,9 |
| IPE 360 | 16 270 | 904 | 72,7 |
| HEB 200 | 5 696 | 570 | 78,1 |
| HEB 300 | 25 170 | 1 678 | 149,1 |
Flächenträgheitsmoment – Grundlagen & Bedeutung
Was ist das Flächenträgheitsmoment?
Das Flächenträgheitsmoment I_y (auch: axiales Flächenträgheitsmoment, zweites Flächenmoment) ist die wichtigste Querschnittskennzahl für biegebeanspruchte Bauteile. Es beschreibt, wie widerstandsfähig ein Querschnitt gegen Biegung in Bezug auf eine bestimmte Achse ist. Je größer I_y, desto kleiner die Durchbiegung und Biegespannung bei gleicher Belastung – deshalb sind I-Träger so effizient: Ihr Material sitzt möglichst weit von der neutralen Faser entfernt.
I_y steigt mit h³ – nicht linear!
Beim Rechteck I = b·h³/12:
| Breite b | Höhe h | I_y [cm⁴] |
|---|---|---|
| 10 cm | 10 cm | 833 |
| 10 cm | 20 cm | 6 667 |
| 10 cm | 30 cm | 22 500 |
| 20 cm | 10 cm | 1 667 |
Widerstandsmoment W_y
W_y = I_y / e → σ_b = M / W_y
| Profil | W_y [cm³] | Wirkung |
|---|---|---|
| b/h = 10/10 | 167 | Basis |
| b/h = 10/20 | 667 | 4-fach |
| b/h = 10/30 | 1 500 | 9-fach |
| IPE 270 | 429 | effizient |
Herleitung und Bedeutung der Formeln
1. Definition – Flächenträgheitsmoment
Allgemeine Definition (Integral):
I_y = ∫ z² · dA [cm⁴]
z = Abstand eines Flächenelements dA von der Biegeachse y. Bei Rechteck: Integration über alle Streifen b·dz von –h/2 bis +h/2 ergibt b·h³/12.
I_y = ∫ z² · dA [cm⁴]
z = Abstand eines Flächenelements dA von der Biegeachse y. Bei Rechteck: Integration über alle Streifen b·dz von –h/2 bis +h/2 ergibt b·h³/12.
2. Steiner'scher Anteil (Verschiebungssatz)
I_y,neu = I_S + A · d²
I_S = Eigenträgheitsmoment (bezogen auf eigene Schwerpunktachse)
A = Fläche des Teilquerschnitts, d = Abstand der Schwerpunktachse zur neuen Achse
Anwendung: T-Profile, Verbundquerschnitte, zusammengesetzte Querschnitte
Wichtig: Der Steiner-Anteil A·d² kann viel größer als I_S sein – Material weit von der Achse ist sehr wirksam!
I_S = Eigenträgheitsmoment (bezogen auf eigene Schwerpunktachse)
A = Fläche des Teilquerschnitts, d = Abstand der Schwerpunktachse zur neuen Achse
Anwendung: T-Profile, Verbundquerschnitte, zusammengesetzte Querschnitte
Wichtig: Der Steiner-Anteil A·d² kann viel größer als I_S sein – Material weit von der Achse ist sehr wirksam!
3. Polares Flächenträgheitsmoment (Torsion)
I_p = I_y + I_z (Satz von Steiner, bei Kreis: I_p = π·d⁴/32)
Gilt für Kreisquerschnitte; für offene Profile ist die Torsionssteifigkeit I_T gesondert zu bestimmen.
Gilt für Kreisquerschnitte; für offene Profile ist die Torsionssteifigkeit I_T gesondert zu bestimmen.
Praxisbeispiel: T-Querschnitt aus zwei Rechtecken
Aufgabe:
T-Querschnitt: Flansch 20 × 3 cm, Steg 3 × 17 cm. Gesamthöhe H = 20 cm. Schwerpunkt bestimmen, dann I_y berechnen.
Lösung:
- A₁ (Flansch) = 20 × 3 = 60 cm², z₁ = 20 − 1,5 = 18,5 cm (von UK)
- A₂ (Steg) = 3 × 17 = 51 cm², z₂ = 17/2 = 8,5 cm (von UK)
- Schwerpunkt: ȳ = (60 × 18,5 + 51 × 8,5) / (60+51) = 14,0 cm von UK
- I_S1 = 20×3³/12 = 45 cm⁴ | d₁ = 18,5−14,0 = 4,5 cm → Steiner: 60×4,5² = 1215 cm⁴
- I_S2 = 3×17³/12 = 1240 cm⁴ | d₂ = 14,0−8,5 = 5,5 cm → Steiner: 51×5,5² = 1543 cm⁴
- I_y = 45+1215+1240+1543 = 4 043 cm⁴
- W_y,oben = 4043/(20−14) = 674 cm³ | W_y,unten = 4043/14 = 289 cm³
Häufige Fragen
I_y ist das Flächenträgheitsmoment um die horizontale y-Achse (Biegung in der Vertikalebene, „starke Achse").
I_z ist das Moment um die vertikale z-Achse (Biegung in der Horizontalebene, „schwache Achse").
Bei I-Profilen ist I_y ≫ I_z – deshalb müssen sie immer in der starken Achse eingebaut werden.
Beim Rechteck (b < h): I_y = b·h³/12 (stark), I_z = h·b³/12 (schwach).
Bei einem I-Träger sitzt das meiste Material in den Flanschen, weit entfernt von der neutralen
Faser. Der Steiner-Anteil A·d² wächst mit dem Quadrat des Abstands – je weiter weg, desto
größer der Beitrag zu I_y. Gleichzeitig ist der Steg nur dünn, da er hauptsächlich
Querkräfte trägt. Ergebnis: maximales I_y bei minimalem Materialeinsatz.
Ein IPE 270 hat I_y = 5 790 cm⁴ bei nur 45,9 cm² Fläche (Vollrechteck 18×27 würde 29 524 cm⁴
bei 486 cm² benötigen – 10× mehr Material für 5× mehr I).
Immer wenn der Schwerpunkt des Teilquerschnitts nicht auf der Biegeachse liegt.
Typische Fälle: T-Träger aus zwei Rechtecken, Verbundquerschnitte (Stahl + Beton),
asymmetrische Querschnitte, zusammengesetzte Profile.
Formel: I_y = Σ(I_Si + A_i · d_i²) über alle Teilflächen.
Zuerst den gemeinsamen Schwerpunkt bestimmen, dann die Abstände d_i berechnen.
Im Bauwesen wird I_y üblicherweise in cm⁴ angegeben
(Profilkataloge, Normentabellen). Für Spannungsberechnungen muss in mm⁴ umgerechnet
werden: 1 cm⁴ = 10⁴ mm⁴. Das Widerstandsmoment W_y steht in cm³
(Profilkataloge) oder mm³ (Spannungsberechnung):
σ [N/mm²] = M [kN·m] × 10⁶ / W_y [mm³] = M [kN·m] × 10⁶ / (W_y [cm³] × 10³).
I_p = I_y + I_z ist das polare Flächenträgheitsmoment, das die Torsionssteifigkeit
rotationssymmetrischer Querschnitte (Wellen, Rohre) beschreibt.
Für Kreisquerschnitt: I_p = π·d⁴/32, Torsionswiderstand W_p = π·d³/16.
Für Kreisring: I_p = π·(D⁴−d⁴)/32.
Für offene Profile (I, U, T) ist I_p nicht maßgebend; dort wird I_T (Torsionssteifigkeit)
nach Bredt oder Tabelle bestimmt.
Zusammenfassung
Flächenträgheitsmoment
I_y = b·h³/12 | π·d⁴/64
Einheit: cm⁴ | mm⁴
Widerstandsmoment
W_y = I_y / e
σ = M / W_y [N/mm²]
Steiner-Anteil
I_ges = I_S + A·d²
Für zusammengesetzte Profile
Typische Anwendungen
- Trägerauslegung: Stahlträger, Holzbalken, Betonplatten dimensionieren
- Profilvergleich: Welches I-Profil reicht für ein gegebenes Biegemoment?
- Verbundquerschnitte: Stahl-Beton-Verbund, Holz-Stahl-Verbund (mit Steiner)
- Maschinenbau: Wellen (polare Trägheitsmoment), Prüfrahmen, Führungen
- Rohre und Hohlprofile: Kranausleger, Rahmen, Stützen
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