Knicklast Rechner (Euler)
Knicklast · Knickspannung · Schlankheitsgrad · Knicknachweis
Knicklast-Rechner
Fall 1
einf.–einf.
einf.–einf.
Fall 2
einf.–fest
einf.–fest
Fall 3
fest–fest
fest–fest
Fall 4
Kragstütze
Kragstütze
Oder manuellen β-Wert eingeben:
β = Knicklängenbeiwert
Maßgebend ist immer I_min (schwache Achse)!
IPE 240: I_z = 284 cm⁴, IPE 300: I_z = 604 cm⁴
IPE 240: I_z = 284 cm⁴, IPE 300: I_z = 604 cm⁴
Euler-Fälle & Formeln
Euler-Knicklast (allgemein):
F_krit = π² · E · I / (β · L)² [N]
β = Knicklängenbeiwert | L = Systemlänge | L_k = β·L = Knicklänge
F_krit = π² · E · I / (β · L)² [N]
β = Knicklängenbeiwert | L = Systemlänge | L_k = β·L = Knicklänge
Knicklängenbeiwerte β nach Euler-Fällen:
| Fall | Lagerung | β | Typische Anwendung |
|---|---|---|---|
| Euler 1 | gelenkig – gelenkig | 1,0 | Fachwerkstäbe |
| Euler 2 | gelenkig – eingespannt | 0,7 | Hallenst. (oben frei) |
| Euler 3 | eingespannt – eingespannt | 0,5 | Rahmenstützen |
| Euler 4 | eingespannt – frei (Kragst.) | 2,0 | Masten, Kamine |
Knickspannung:
σ_krit = π² · E / λ² [N/mm²]
λ = L_k / i = β · L / i (Schlankheitsgrad)
i = √(I / A) [mm] Trägheitsradius
σ_krit = π² · E / λ² [N/mm²]
λ = L_k / i = β · L / i (Schlankheitsgrad)
i = √(I / A) [mm] Trägheitsradius
Schlankheitsgrenzwerte (Anhaltswerte):
λ ≤ 100 Stahl-Druckstäbe (EC3, üblich)
λ ≤ 150 Holz-Stützen (EC5)
λ ≤ 200 Winkelprofile, Sekundärstäbe
Gültigkeitsbereich Euler: σ_krit ≤ Proportionalitätsgrenze (ca. 2/3 f_y)
λ ≤ 100 Stahl-Druckstäbe (EC3, üblich)
λ ≤ 150 Holz-Stützen (EC5)
λ ≤ 200 Winkelprofile, Sekundärstäbe
Gültigkeitsbereich Euler: σ_krit ≤ Proportionalitätsgrenze (ca. 2/3 f_y)
Knicknachweis (vereinfacht):
F_Ed ≤ F_krit / γ
γ = 1,5 (EC3 Sicherheitsformat) oder γ = 3 (klassischer Euler-Nachweis)
Ausnutzungsgrad η = F_Ed / (F_krit / γ) ≤ 1,0
F_Ed ≤ F_krit / γ
γ = 1,5 (EC3 Sicherheitsformat) oder γ = 3 (klassischer Euler-Nachweis)
Ausnutzungsgrad η = F_Ed / (F_krit / γ) ≤ 1,0
Symbolerklärung
| F_krit | Kritische Knicklast (Euler) [N] |
| E | Elastizitätsmodul [N/mm²] |
| I_min | Kleinst. Flächenträgheitsmoment [cm⁴] |
| β | Knicklängenbeiwert [–] |
| L | Systemlänge (Stablänge) [m] |
| L_k = β·L | Knicklänge [m] |
| λ | Schlankheitsgrad [–] |
| i = √(I/A) | Trägheitsradius [cm] |
| σ_krit | Euler-Knickspannung [N/mm²] |
Knicken – Grundlagen der Stabilitätstheorie
Was ist Knicken?
Knicken ist ein Stabilitätsversagen schlanker Druckstäbe: Bei Überschreitung der kritischen Last weicht der Stab seitlich aus – ohne dass die Druckfestigkeit des Materials erreicht wird. Knicken ist das häufigste Versagensbild bei Stützen, Säulen, Rahmenriegeln und druckbeanspruchten Gurten in Fachwerken. Die kritische Last hängt von der Biegesteifigkeit EI, der Knicklänge β·L und der Lagerungsbedingung ab – nicht von der Druckfestigkeit!
Euler-Fälle im Vergleich (L = 4 m, IPE 240, Stahl)
| Fall | β | L_k [m] | F_krit [kN] |
|---|---|---|---|
| Euler 1 | 1,0 | 4,0 | 371 |
| Euler 2 | 0,7 | 2,8 | 757 |
| Euler 3 | 0,5 | 2,0 | 1 484 |
| Euler 4 | 2,0 | 8,0 | 93 |
Trägheitsradien i_z typischer Profile
| Profil | i_z [cm] | A [cm²] |
|---|---|---|
| IPE 240 | 1,97 | 39,1 |
| IPE 270 | 2,21 | 45,9 |
| HEB 200 | 5,07 | 78,1 |
| HEB 300 | 7,58 | 149,1 |
| RRO 100×5 | 3,42 | 15,1 |
Detaillierte Formelherleitung
1. Euler-Gleichung – Herleitung aus der Differentialgleichung der Biegelinie
Die Differentialgleichung des gebogenen Druckstabs lautet:
E·I·y'' + F·y = 0
Lösung (Ansatz y = A·sin(kx), k² = F/EI) liefert die Bedingung k·L = n·π.
Für die kleinste kritische Last (n = 1):
F_krit = π² · E · I / L_k² mit L_k = β · L
Gilt nur für elastisches Materialverhalten (Euler-Hyperbel liegt unterhalb der Fließgrenze).
E·I·y'' + F·y = 0
Lösung (Ansatz y = A·sin(kx), k² = F/EI) liefert die Bedingung k·L = n·π.
Für die kleinste kritische Last (n = 1):
F_krit = π² · E · I / L_k² mit L_k = β · L
Gilt nur für elastisches Materialverhalten (Euler-Hyperbel liegt unterhalb der Fließgrenze).
2. Schlankheitsgrad und Knickspannung
λ = L_k / i_min = β · L / √(I_min / A)
σ_krit = F_krit / A = π² · E / λ² [N/mm²]
Gültigkeitsbereich Euler: σ_krit ≤ σ_P (Proportionalitätsgrenze, ca. 0,67 · f_y)
Stahl S235: σ_P ≈ 157 N/mm² → λ_min ≈ π·√(E/σ_P) ≈ 115
Für λ < 115 müssen Tetmajer/Johnson-Parabeln oder EC3-Knickspannungslinie verwendet werden.
σ_krit = F_krit / A = π² · E / λ² [N/mm²]
Gültigkeitsbereich Euler: σ_krit ≤ σ_P (Proportionalitätsgrenze, ca. 0,67 · f_y)
Stahl S235: σ_P ≈ 157 N/mm² → λ_min ≈ π·√(E/σ_P) ≈ 115
Für λ < 115 müssen Tetmajer/Johnson-Parabeln oder EC3-Knickspannungslinie verwendet werden.
3. Einfluss des Euler-Falls auf die Knicklast
Knicklänge L_k = β · L – der Knicklängenbeiwert β ergibt sich aus den Randbedingungen:
- β = 1,0 (Euler 1): Beide Enden gelenkig gelagert – entspricht einer halben Sinuswelle
- β = 0,7 (Euler 2): Ein Ende gelenkig, eines eingespannt – asymmetrisch, L_k = 0,7·L
- β = 0,5 (Euler 3): Beide Enden eingespannt – L_k = 0,5·L, F_krit 4× höher als Fall 1
- β = 2,0 (Euler 4): Kragstütze (unten eingespannt, oben frei) – L_k = 2·L, F_krit 4× kleiner als Fall 1
Praxisbeispiel: Hallenstütze HEB 200, Euler 2
Aufgabe:
Stahlstütze HEB 200, Länge L = 6,0 m, unten eingespannt, oben gelenkig (Euler 2, β = 0,7). Bemessungsdruckkraft F_Ed = 1 200 kN. Nachweis gegen Knicken (γ = 1,5).
Profildaten HEB 200:
I_z = 2 000 cm⁴, A = 78,1 cm², i_z = 5,07 cm, E = 210 000 N/mm²
Lösung:
- L_k = β · L = 0,7 × 6,0 = 4,2 m
- F_krit = π² × 210 000 × 2 000×10⁴ / (4 200)² = 23 550 kN
- F_krit / γ = 23 550 / 1,5 = 15 700 kN
- F_Ed = 1 200 kN ≤ 15 700 kN → ✓ Nachweis erbracht
- λ = 4200 / (5,07×10) = 82,8 → Euler-Bereich gültig
Häufige Fragen
Die Euler-Formel gilt nur im elastischen Bereich, d. h. solange σ_krit ≤ Proportionalitätsgrenze
des Materials (Stahl S235: ca. 157 N/mm², Grenzschlankheit λ_G ≈ 115).
Für schlankere Stäbe (λ > 115 bei S235) ist die Euler-Formel konservativ.
Für gedrungenere Stäbe (λ < 115) müssen Unterteilungsformeln nach
Tetmajer, Johnson-Parabel oder die Knickspannungslinien a–d nach Eurocode EC3
(die auch Vorverformungen und Eigenspannungen berücksichtigen) verwendet werden.
Der Druckstab weicht immer in die Richtung aus, in der er den geringsten Biegewiderstand hat –
also um die Achse mit dem kleinsten Flächenträgheitsmoment I_min.
Bei einem IPE-Träger ist das I_z (schwache Achse), weil die Flansche schmal sind.
Deshalb sind seitliche Halterungen (Querriegel, Verbände) so wirkungsvoll:
Sie reduzieren die Knicklänge in der schwachen Achse, was die Knicklast stark erhöht.
Im klassischen Euler-Ansatz wird γ = 3 empfohlen (Richtwert DIN alt),
da neben dem Knicken noch Imperfektionen, Vorverformungen und Eigenspannungen
berücksichtigt werden müssen.
Nach Eurocode EC3 wird der Nachweis mit Teilsicherheitsbeiwert γ_M1 = 1,0 (Stahl)
und dem Abminderungsfaktor χ (Knickspannungslinie a–d) geführt:
N_Ed ≤ χ · A · f_y / γ_M1.
Für eine schnelle Vordimensionierung ist γ = 1,5 ein üblicher Anhaltswert.
Effektivste Maßnahmen in absteigender Wirkung:
- Knicklänge reduzieren – seitliche Halterungen einbauen, β von 1,0 auf 0,5 halbiert F_krit mal 4.
- Querschnitt vergrößern (Höhe/Breite) – I wächst mit h³, b linear.
- Hohlprofil statt IPE verwenden – RHS/CHS haben gleichmäßiges I in allen Achsen.
- Einspannung verbessern – Starre Fußpunkte reduzieren β von 1,0 auf 0,5 (Faktor 4 !).
Knicken (engl. buckling) bezeichnet das seitliche Ausweichen eines
Stabs unter axialer Druckbelastung.
Beulen (engl. plate buckling) bezeichnet das Stabilitätsversagen
dünnwandiger Platten oder Schalen unter Druck, Schub oder kombinierter Belastung
(z. B. Stegblechbeulen, Schalenbeulen von Silos/Tanks).
Beide sind Stabilitätsprobleme (Gleichgewicht in verformter Lage), aber mit
unterschiedlichen Formeln und Nachweisverfahren.
Zusammenfassung
Knicklast
F_krit = π²·E·I / (β·L)²
Einheit: N → kN
Schlankheitsgrad
λ = β·L / i
i = √(I/A)
Knicknachweis
F_Ed ≤ F_krit / γ
η = F_Ed·γ / F_krit ≤ 1
Typische Anwendungen
- Hallenstützen: Stahlstützen IPE/HEB, Euler-Fall 2 oder 3
- Fachwerkstäbe: Druckgurte und Pfosten, Euler-Fall 1 (gelenkig)
- Holzstützen: Schlankheitsgrad λ ≤ 150 (EC5)
- Masten und Kamine: Kragstützen, Euler-Fall 4 (β = 2,0)
- Maschinenbau: Schraubenbolzen, Kolbenstangen, Streben
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