Spannungsberechnung
Zug · Druck · Scherspannung · Biegespannung · Torsion · Vergleichsspannung
Spannungs-Rechner
Zugkraft: σ = +F/A (positiv)
Druckkraft: σ = −F/A (negativ)
Positiv = Zug, negativ = Druck
IPE 270: A = 45,9 cm² | HEB 200: A = 78,1 cm² | Rechteck b×h
Welle / RohrFormeln & Spannungsarten
Normalspannung (Zug / Druck):
σ
σ = F / A [N/mm²]
F [N], A [mm²] | Zug: σ > 0, Druck: σ < 0
Nachweis: |σ| ≤ f_y / γ_M
σ = F / A [N/mm²]
F [N], A [mm²] | Zug: σ > 0, Druck: σ < 0
Nachweis: |σ| ≤ f_y / γ_M
Scherspannung (einfache Scherung):
τ
τ = F / (n · A_s) [N/mm²]
n = Anzahl Scherfugen | A_s = Scherfläche
Bolzen ∅d: A_s = π·d²/4 | Nachweis: τ ≤ f_y / (√3 · γ_M)
τ = F / (n · A_s) [N/mm²]
n = Anzahl Scherfugen | A_s = Scherfläche
Bolzen ∅d: A_s = π·d²/4 | Nachweis: τ ≤ f_y / (√3 · γ_M)
Biegespannung (Navier):
σ_b
σ_b = M / W_y = M · e / I_y [N/mm²]
M [N·mm] | W_y [mm³] = I_y / e
Nachweis: σ_b ≤ f_y / γ_M
σ_b = M / W_y = M · e / I_y [N/mm²]
M [N·mm] | W_y [mm³] = I_y / e
Nachweis: σ_b ≤ f_y / γ_M
Torsionsspannung (Kreisquerschnitt):
τ_t
τ_t = M_t / W_p [N/mm²]
W_p = π · d³ / 16 (Vollwelle)
W_p = π · (D⁴−d⁴) / (16·D) (Rohr)
τ_t = M_t / W_p [N/mm²]
W_p = π · d³ / 16 (Vollwelle)
W_p = π · (D⁴−d⁴) / (16·D) (Rohr)
Vergleichsspannung nach von Mises:
σ_v
σ_v = √(σ² + 3·τ²) [N/mm²]
Kombination Normal- und Schubspannung
Nachweis: σ_v ≤ f_y / γ_M
σ_v = √(σ² + 3·τ²) [N/mm²]
Kombination Normal- und Schubspannung
Nachweis: σ_v ≤ f_y / γ_M
Zulässige Spannung (Nachweis):
σ_zul = f_y / γ_M [N/mm²]
τ_zul = f_y / (√3 · γ_M) [N/mm²]
Ausnutzungsgrad η = σ_vorh / σ_zul ≤ 1,0
σ_zul = f_y / γ_M [N/mm²]
τ_zul = f_y / (√3 · γ_M) [N/mm²]
Ausnutzungsgrad η = σ_vorh / σ_zul ≤ 1,0
Festigkeitskennwerte
| Werkstoff | f_y [N/mm²] | σ_zul (γ=1) | τ_zul (γ=1) |
|---|---|---|---|
| Stahl S235 | 235 | 235 | 136 |
| Stahl S355 | 355 | 355 | 205 |
| Stahl S420 | 420 | 420 | 242 |
| Holz GL28h | 28 | 22,4 (γ=1,25) | – |
Spannungsberechnung – Grundlagen der Festigkeitslehre
Was ist mechanische Spannung?
Eine mechanische Spannung ist eine innere Kraft bezogen auf die Fläche, auf die sie wirkt. Sie entsteht, wenn ein Bauteil durch äußere Lasten beansprucht wird. Überschreitet die Spannung den Grenzwert des Materials (Streckgrenze, Zugfestigkeit), versagt das Bauteil durch Fließen, Rissbildung oder Bruch. Die Spannungsberechnung ist das Herzstück der Baustatik und Festigkeitslehre.
Spannungsarten im Überblick
| Art | Symbol | Ursache |
|---|---|---|
| Normalspannung | σ | Zug / Druck |
| Schubspannung | τ | Querkraft / Scherung |
| Biegespannung | σ_b | Biegemoment |
| Torsionsspannung | τ_t | Torsionsmoment |
| Vergleichsspannung | σ_v | Kombination |
Einheitenumrechnung
| Größe | Umrechnung |
|---|---|
| σ = F/A | 1 kN / cm² = 10 N/mm² |
| F in kN, A in cm² | σ[N/mm²] = F[kN]×100/A[cm²] |
| M in kN·m, W in cm³ | σ[N/mm²] = M×10⁶/W×10³ |
| M_t in N·m, W_p in cm³ | τ[N/mm²] = M_t×10³/W_p×10³ |
Detaillierte Herleitung der Spannungsformeln
1. Normalspannung σ = F / A
Gleichmäßig verteilte Zugkraft F über Querschnitt A:
σ = F / A [N/mm²]
Gültig für zentrisch belastete Querschnitte (kein Biegemoment).
Zug: σ > 0 (Fasern werden gedehnt) | Druck: σ < 0 (Fasern werden gestaucht)
Beispiel: Zugstab Ø30 mm, F = 50 kN → A = π×15² = 706,9 mm² → σ = 50000/706,9 = 70,7 N/mm²
σ = F / A [N/mm²]
Gültig für zentrisch belastete Querschnitte (kein Biegemoment).
Zug: σ > 0 (Fasern werden gedehnt) | Druck: σ < 0 (Fasern werden gestaucht)
Beispiel: Zugstab Ø30 mm, F = 50 kN → A = π×15² = 706,9 mm² → σ = 50000/706,9 = 70,7 N/mm²
2. Scherspannung τ = F / A_s
Scherkraft F wirkt parallel zur Scherfläche A_s:
τ = F / (n · A_s) [N/mm²]
Bolzenverbindung ∅20 mm, F = 80 kN, einfache Scherung (n=1):
A_s = π×10² = 314,2 mm² → τ = 80000/314,2 = 254,6 N/mm²
Nachweis Stahl S355: τ_zul = 355/√3 = 205 N/mm² → ✗ Bolzendurchmesser erhöhen!
τ = F / (n · A_s) [N/mm²]
Bolzenverbindung ∅20 mm, F = 80 kN, einfache Scherung (n=1):
A_s = π×10² = 314,2 mm² → τ = 80000/314,2 = 254,6 N/mm²
Nachweis Stahl S355: τ_zul = 355/√3 = 205 N/mm² → ✗ Bolzendurchmesser erhöhen!
3. Biegespannung σ_b = M / W_y
σ_b = M / W_y = M · e / I_y
Größte Zugspannung an der Randfaser (Zug-Seite), größte Druckspannung gegenüber.
Beispiel: M = 50 kN·m, IPE 270: W_y = 429 cm³
σ_b = 50×10⁶ / (429×10³) = 116,5 N/mm² < 235 N/mm² ✓
Größte Zugspannung an der Randfaser (Zug-Seite), größte Druckspannung gegenüber.
Beispiel: M = 50 kN·m, IPE 270: W_y = 429 cm³
σ_b = 50×10⁶ / (429×10³) = 116,5 N/mm² < 235 N/mm² ✓
4. Torsionsspannung τ_t = M_t / W_p
τ_t = M_t / W_p
W_p (Vollkreis) = π·d³/16 | W_p (Rohr) = π·(D⁴−d⁴)/(16·D)
Welle ∅50 mm, M_t = 500 N·m:
W_p = π×50³/16 = 24 544 mm³
τ_t = 500×10³ / 24 544 = 20,4 N/mm²
W_p (Vollkreis) = π·d³/16 | W_p (Rohr) = π·(D⁴−d⁴)/(16·D)
Welle ∅50 mm, M_t = 500 N·m:
W_p = π×50³/16 = 24 544 mm³
τ_t = 500×10³ / 24 544 = 20,4 N/mm²
5. Vergleichsspannung nach von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese)
σ_v = √(σ² + 3·τ²)
Gilt für Ebener-Spannungszustand (σ_x, τ_xy). Bei reiner Schubspannung:
σ_v = √3·τ → Fließbedingung τ_F = f_y/√3 ≈ 0,577·f_y
Beispiel: σ = 120 N/mm², τ = 60 N/mm²:
σ_v = √(120² + 3×60²) = √(14400 + 10800) = √25200 = 158,7 N/mm²
Gilt für Ebener-Spannungszustand (σ_x, τ_xy). Bei reiner Schubspannung:
σ_v = √3·τ → Fließbedingung τ_F = f_y/√3 ≈ 0,577·f_y
Beispiel: σ = 120 N/mm², τ = 60 N/mm²:
σ_v = √(120² + 3×60²) = √(14400 + 10800) = √25200 = 158,7 N/mm²
Praxisbeispiel: Schweißnahtberechnung
Aufgabe:
Kehlnaht (a = 5 mm, Nahtlänge l = 200 mm) trägt gleichzeitig:
– Normalkraft F = 40 kN (Zugspannung)
– Querkraft V = 30 kN (Scherspannung)
Nachweis für Stahl S235, γ_M = 1,25 (Schweißnähte EC3).
Lösung:
- Schweißnahtfläche A_w = a × l = 5 × 200 = 1 000 mm²
- σ_⊥ = F / A_w = 40 000 / 1 000 = 40 N/mm²
- τ_∥ = V / A_w = 30 000 / 1 000 = 30 N/mm²
- Vergleichsspannung: σ_v = √(40² + 3×30²) = √(1600+2700) = √4300 = 65,6 N/mm²
- σ_zul = f_u / (β_w × γ_M2) ≈ 360 / (0,8 × 1,25) = 360 N/mm² → ✓ Nachweis erbracht
Häufige Fragen
σ (Sigma) ist die Normalspannung – sie wirkt senkrecht zur Schnittfläche
(Zug = positiv, Druck = negativ).
τ (Tau) ist die Schubspannung – sie wirkt parallel zur Schnittfläche
(Scherung, Torsion, Querkraft).
Ein Stab unter reiner Zugkraft F hat nur σ = F/A.
Ein Bolzen unter Querkraft hat τ = F/A.
In der Praxis treten meist beide gleichzeitig auf (Kombination → von Mises).
Die von-Mises-Fließbedingung σ_v = f_y lautet im reinen Schubzustand
(σ = 0, nur τ):
σ_v = √(0 + 3·τ²) = √3·τ = f_y → τ_Fließ = f_y / √3 ≈ 0,577 · f_y.
Für Stahl S235: τ_zul = 235/√3 ≈ 135,7 N/mm².
Die alternative Tresca-Hypothese ergibt τ = f_y / 2 = 0,5 · f_y (konservativer).
EC3 verwendet die von-Mises-Bedingung.
Bei Zugstäben mit Löchern (Bolzen, Schrauben) wird der tragende Querschnitt
durch die Löcher geschwächt:
A_netto = A_brutto − n × d_0 × t
(n = Anzahl Löcher, d_0 = Lochdurchmesser, t = Blechdicke).
Nach EC3 ist für den Nettoquerschnitt γ_M2 = 1,25 maßgebend (statt γ_M0 = 1,0),
da Zugversagen am Nettoquerschnitt sprödbruchahnlich ist.
Immer wenn σ und τ gleichzeitig auftreten und die Beanspruchungen nicht
getrennt nachgewiesen werden können. Typische Fälle:
Schweißnähte (Normal- + Schubspannung), Wellen (Biegung + Torsion),
Druckbehälter, Anschlussbleche unter Kombination.
Bei reiner Normalkraft oder reiner Biegung ist von Mises nicht erforderlich –
es gilt direkt σ ≤ f_y.
Nach Eurocode EC3 (Stahl):
- γ_M0 = 1,0 – Querschnittstragfähigkeit (Plastizität)
- γ_M1 = 1,0 – Stabilitätsversagen (Knicken, Beulen)
- γ_M2 = 1,25 – Zugversagen am Nettoquerschnitt, Schrauben
Zusammenfassung
Normal-/Scherspannung
σ = F/A [N/mm²]
τ = F/(n·A_s) [N/mm²]
Biege- / Torsionsspannung
σ_b = M/W_y
τ_t = M_t/W_p
Vergleichsspannung
σ_v = √(σ²+3τ²)
σ_v ≤ f_y / γ_M
Typische Anwendungen
- Zugstäbe und Pendelstützen: σ = F/A, Nettoquerschnitt bei Löchern
- Bolzen und Niete: Scherspannung τ = F/A_s (einfach oder doppelt)
- Biegeträger: σ_b = M/W_y an den Randfasern (Nachweis Querschnitt)
- Antriebswellen: Torsionsspannung τ_t = M_t/W_p (kombination mit Biegung)
- Schweißnähte: Von-Mises-Nachweis aus Normal- und Schubspannung
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