Kalibriergerade (Linear Regression)
x = Konzentration / Standardwert, y = Messsignal (z. B. Absorption). Trennzeichen: Semikolon oder Leerzeichen.
Analytischer Kontext
Die Kalibriergerade verbindet Konzentration und Messsignal. Mit linearer Regression wird die beste Gerade \(y = m x + b\) aus Standarddaten bestimmt. Damit lassen sich unbekannte Probenwerte rückrechnen und die Modellqualität bewerten.
\[ y = m x + b \]
Typische Anwendungsfälle:
- Photometrie (Absorption vs. Konzentration)
- Elektrochemische Sensoren (Signal vs. Konzentration)
- Schnelle Qualitätskontrolle mit Standardreihen
Crosslink: Für Methodenvalidierung mit Nachweis-/Bestimmungsgrenze siehe LOD/LOQ-Rechner.
Formeln (MathJax)
\[ m = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \]
\[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]
\[ \hat{y} = m x + b \]
\[ R^2 = \frac{\left(n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)\right)^2}{\left(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\right)\left(n\sum y_i^2 - (\sum y_i)^2\right)} \]
\[ x = \frac{y-b}{m} \]
Legende der Formelsymbole
- \(x\): bekannter Standardwert (z. B. Konzentration)
- \(y\): gemessenes Signal (z. B. Absorption, Peakfläche)
- \(m\): Steigung der Kalibriergeraden
- \(b\): Achsenabschnitt (Signaloffset)
- \(\hat{y}\): vorhergesagtes Signal
- \(R^2\): Bestimmtheitsmaß (Güte der linearen Anpassung)
- \(n\): Anzahl der Datenpunkte
- \(\bar{x},\bar{y}\): Mittelwerte der x- bzw. y-Werte
Ausführliche Beispiele
Beispiel 1 (Erstellung der Kalibriergeraden):
Aus Standardreihe wird \(m\approx0{,}108\) und \(b\approx0{,}011\) bestimmt.
Damit lautet die Kalibrierfunktion: \(y=0{,}108x+0{,}011\).
Aus Standardreihe wird \(m\approx0{,}108\) und \(b\approx0{,}011\) bestimmt.
Damit lautet die Kalibrierfunktion: \(y=0{,}108x+0{,}011\).
Beispiel 2 (Unbekannte Probe):
Messsignal \(y=0{,}300\).
Rückrechnung: \(x=(y-b)/m\approx2{,}67\).
Messsignal \(y=0{,}300\).
Rückrechnung: \(x=(y-b)/m\approx2{,}67\).
Beispiel 3 (Vorhersage):
Für \(x=2{,}5\) ergibt sich \(\hat{y}\approx0{,}281\).
So kann ein Sollsignal für Kontrollstandards vorab berechnet werden.
Für \(x=2{,}5\) ergibt sich \(\hat{y}\approx0{,}281\).
So kann ein Sollsignal für Kontrollstandards vorab berechnet werden.
Beispiel 4 (Güte):
Bei \(R^2\) nahe 1 ist die lineare Anpassung sehr gut.
Bei deutlich kleinerem \(R^2\) sollten Ausreißer, Matrixeffekte oder ein nichtlineares Modell geprüft werden.
Bei \(R^2\) nahe 1 ist die lineare Anpassung sehr gut.
Bei deutlich kleinerem \(R^2\) sollten Ausreißer, Matrixeffekte oder ein nichtlineares Modell geprüft werden.
Vertiefung
Nullpunktverschiebung und Blindwert
Ein von 0 abweichender Achsenabschnitt \(b\) kann auf einen Blindwert, Instrumentenoffset oder Matrixeffekte hinweisen. In der Laborpraxis sollte das bewusst bewertet und dokumentiert werden.
Anzahl der Kalibrierpunkte
Mehr Kalibrierpunkte erhöhen in der Regel die Robustheit gegenüber Messrauschen. Für valide Regression sollten die Standards den relevanten Arbeitsbereich der unbekannten Proben gut abdecken.
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