Helligkeit vs. Entfernung berechnen

Inverse-Quadrat-Gesetz für Beleuchtungsstärke und relative Helligkeit

Helligkeit Rechner (JavaScript)

Inverse-Quadrat-Gesetz

Für punktförmige Lichtquellen gilt näherungsweise E = I/r². Verdoppelt sich der Abstand, sinkt die Helligkeit auf ein Viertel.

cd
m
Resultat

Beispielrechnungen

Beispiel 1: Beleuchtungsstärke bei 2 m

Gegeben: I = 400 cd, r = 2 m

\[E=\frac{I}{r^2}=\frac{400}{2^2}=100\,lx\]

Ergebnis: E = 100 lx

Beispiel 2: Helligkeitsverhältnis 1 m zu 3 m

Gegeben: r₁ = 1 m, r₂ = 3 m

\[\frac{E_2}{E_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=0{,}11\]

Interpretation: Bei 3 m sind nur etwa 11,11 % der Helligkeit von 1 m vorhanden.

Beispiel 3: Verdopplung des Abstands

Regel: r₂ = 2·r₁

\[\frac{E_2}{E_1}=\left(\frac{r_1}{2r_1}\right)^2=\frac{1}{4}=25\%\]

Ergebnis: Verdoppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Helligkeit.

Formeln und ausführliche Beschreibung

Die wahrgenommene Helligkeit auf einer Fläche sinkt mit zunehmender Entfernung von einer punktförmigen Lichtquelle nicht linear, sondern quadratisch. Das Inverse-Quadrat-Gesetz ist ein fundamentales Modell in Photometrie, Bühnenlicht, Straßenbeleuchtung, Fotografie und Sensorik. Es hilft, Beleuchtungsstärken in verschiedenen Distanzen abzuschätzen und Beleuchtungssysteme effizient auszulegen.

Absolute Beleuchtungsstärke
\[E=\frac{I}{r^2}\]
Relatives Verhältnis
\[\frac{E_2}{E_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]
Einheit der Beleuchtungsstärke
\[1\,lx=1\,lm/m^2\]
Praktische Faustregel
\[r\uparrow\Rightarrow E\downarrow\text{ mit }1/r^2\]
Hinweise für reale Anwendungen
Das Gesetz gilt idealisiert für punktförmige Quellen ohne Reflexionen oder Absorption. In Innenräumen und bei großen Leuchten beeinflussen Wandreflexionen, Abstrahlcharakteristik, Abschattungen und Einfallswinkel die tatsächliche Helligkeit. Für präzise Planungen werden daher zusätzlich Leuchtenkennwerte und Raumgeometrie berücksichtigt.

Ausführliche Beschreibung

Was ist Helligkeit?

Helligkeit (auch Beleuchtungsstärke oder Beleuchtung genannt) ist ein Maß für die Menge des sichtbaren Lichts, das auf eine Oberfläche fällt. Sie wird in der Einheit Lux (lx) gemessen, wobei 1 Lux = 1 Lumen pro Quadratmeter ist. Je heller eine Oberfläche ist, desto mehr Licht trifft sie pro Flächeneinheit.

Das Inverse-Quadrat-Gesetz

Das Inverse-Quadrat-Gesetz ist ein fundamentales Prinzip der Photometrie und Radiometrie. Es besagt, dass die Helligkeit (oder Intensität) einer punktförmigen Lichtquelle mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt:

\[E = \frac{I}{r^2}\]
  • E – Beleuchtungsstärke (lux)
  • I – Lichtstärke der Quelle (candela, cd)
  • r – Entfernung von der Lichtquelle (Meter)
Physikalische Interpretation

Das Inverse-Quadrat-Gesetz ergibt sich aus geometrischen Gründen: Die Lichtenergie einer Punktquelle verteilt sich gleichmäßig auf eine Kugeloberfläche. Mit zunehmendem Radius r wächst die Oberfläche mit 4πr². Die Intensität pro Flächeneinheit sinkt daher proportional zu 1/r².

Praktische Konsequenzen
  • Verdoppelte Entfernung: Die Helligkeit sinkt auf ein Viertel (2² = 4)
  • Dreifache Entfernung: Die Helligkeit sinkt auf ein Neuntel (3² = 9)
  • Relative Veränderung: \[\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]
Lichtstärke vs. Helligkeit
Größe Symbol Einheit Bedeutung
Lichtstärke I cd (Candela) Lichtstrom pro Raumwinkel der Quelle
Lichtstrom Φ lm (Lumen) Gesamte sichtbare Lichtenergie
Beleuchtungsstärke E lx (Lux) Lichtstrom auf eine Fläche: 1 lx = 1 lm/m²
Leuchtdichte L cd/m² Wahrgenommene Helligkeit aus einer Richtung
Typische Helligkeitswerte
Lichtsituation Beleuchtungsstärke (lx)
Sternenklarer Nachthimmel 0,0003
Vollmondhelle Nacht 1
Dunkles Zimmer (künstliches Licht) 50
Bürobeleuchtung (Standard) 200 – 500
Arbeitsplatz (gute Beleuchtung) 500 – 1000
Operationssaal 10000 – 50000
Bewölkter Himmel (Mittag) 10000 – 20000
Sonniger Himmel (Mittag) 100000
Anwendungen
  • Architektur & Beleuchtungsplanung: Berechnung von Leuchterzahl und -position für optimale Helligkeitsverteilung
  • Fotografie: Bestimmung von Blende und Belichtungszeit basierend auf Lichtbedingungen
  • Arbeitssicherheit: Festlegung von Mindesthelligkeitswerten für verschiedene Arbeitstypen
  • Astronomie: Bestimmung der sichtbaren Helligkeit von Himmelsobjekten
  • Sensortechnik: Kalibrierung von Lichtsensoren und Kameras
  • Energieeffizienz: Optimierung von Beleuchtungssystemen zur Reduktion des Energieverbrauchs
Hinweis: Gültigkeitsbereich
Das Inverse-Quadrat-Gesetz gilt idealisiert für punktförmige Lichtquellen im freien Raum ohne Reflexionen, Absorption oder Störobjekte. Bei ausgedehnten Lichtquellen, in Innenräumen oder mit komplexer Raumgeometrie können Wandreflexionen, Einfallswinkel und Abschattungen die tatsächliche Helligkeit erheblich beeinflussen.
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