Geometrische Linien und Kurven

Umfassende Sammlung geometrischer Berechnungen für Linien, Geraden, Vektoren und Kurven

Distanz und Entfernung

Distanz zwischen zwei Punkten>
Berechnung der euklidischen Distanz zwischen zwei Punkten im 2D und 3D Raum
Distanz Punkt zu Gerade
Berechnung der kürzesten Entfernung zwischen einem Punkt und einer Geraden

Winkel Berechnungen

Winkel zwischen zwei Geraden
Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden im Koordinatensystem
Winkel zwischen zwei Vektoren (arccos(a⃗·b⃗/|a⃗||b⃗|))
Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren mittels Skalarprodukt

Gerade und Linie

Mittelpunkt einer Geraden ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Berechnung des Mittelpunkts zwischen zwei Punkten auf einer Geraden
Geradengleichung (y = mx + b)
Bestimmung der Geradengleichung aus zwei Punkten oder Steigung und Punkt

Steigung Berechnungen

Steigung berechnen (Δy/Δx)
Berechnung der Steigung aus Höhenunterschied und horizontaler Strecke
Steigung einer Geraden (m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁))
Berechnung der Steigung einer Geraden aus zwei Koordinatenpunkten

Kurven und Bögen

Rundbogen (s = rα)
Berechnung von Kreisbogen - Bogenlänge, Winkel und Radius
Helix
Berechnung der Helix-Eigenschaften - Steigung, Krümmung, Torsion, Bogenlänge
Koch Kurve
Berechnung der fraktalen Koch Kurve - Schneeflocke mit iterativer Konstruktion

Über Linien- und Kurven-Geometrie

Linien und Kurven bilden die Grundelemente der Geometrie und finden praktische Anwendung in:

  • Architektur - Konstruktionslinien, Bögen
  • Ingenieurswesen - CAD, technische Zeichnungen
  • Navigation - Kurse, Routen
  • Computergrafik - 2D/3D-Rendering
  • Vermessung - Landkarten, GPS
  • Physik - Trajektorien, Bewegung
Fundamentale Linien-Formeln
Distanz zwischen Punkten
2D: d = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
3D: d = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)
Geradengleichung
Normalform: y = mx + b
Steigung: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
Mittelpunkt
x = (x₁+x₂)/2
y = (y₁+y₂)/2
Vektorwinkel
cos(α) = (a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|)
α = arccos(Skalarprodukt/Längen)
Tipp: Die analytische Geometrie verbindet Algebra und Geometrie, wodurch geometrische Probleme durch Koordinaten und Gleichungen lösbar werden.

Praktische Anwendungsbeispiele

Architektur & Design
  • CAD-Software: Technische Zeichnungen
  • Konstruktion: Baulinien, Achsen
  • Innenarchitektur: Raumaufteilung
Technik & Industrie
  • Maschinenbau: Bewegungsbahnen
  • Robotik: Pfadplanung
  • Automatisierung: Steuerungstechnik
Navigation & Vermessung
  • GPS-Systeme: Routenberechnung
  • Kartografie: Koordinatensysteme
  • Luftfahrt: Flugbahnen
Computergrafik & Gaming
  • 3D-Modeling: Wireframe-Geometrie
  • Animation: Bewegungskurven
  • Game Development: Kollisionserkennung
Schnellreferenz
√(Δx²+Δy²)
Distanz 2D
y = mx + b
Geradengleichung
Δy/Δx
Steigung
(x₁+x₂)/2
Mittelpunkt
a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos(α)
Skalarprodukt
Koordinatensysteme

Kartesisch: (x, y, z) - Rechtwinklige Koordinaten, am häufigsten verwendet.

Polar: (r, φ) - Radius und Winkel, ideal für Kreisberechnungen.

Parametrisch: x(t), y(t) - Zeit-abhängige Darstellung für Kurven.

Vektor-Operationen

Addition: a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁, a₂+b₂), Parallelogramm-Regel.

Skalarprodukt: a⃗·b⃗ = |a⃗||b⃗|cos(α), für Winkelberechnung.

Kreuzprodukt: a⃗×b⃗ = senkrechter Vektor, nur im 3D-Raum.