Steigung einer Geraden berechnen

Online Rechner zum Berechnen der Steigung zwischen zwei Punkten

Steigung Rechner

Steigung einer Geraden

Die Steigung m einer Geraden beschreibt, um wie viele Einheiten sich der Y-Wert ändert, wenn der X-Wert um eine Einheit zunimmt.

X-Koordinate von Punkt A
Y-Koordinate von Punkt A
X-Koordinate von Punkt B
Y-Koordinate von Punkt B
Ergebnisse
Steigung m:
Winkel zur X-Achse:

Visualisierung

Steigung einer Geraden

Die Grafik zeigt die Steigung als Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Entfernung.
Das Steigungsdreieck verdeutlicht die geometrische Bedeutung der Steigung.

Was ist die Steigung einer Geraden?

Die Steigung gibt an, wie stark eine Gerade ansteigt oder abfällt:

  • Positive Steigung: Gerade steigt von links nach rechts
  • Negative Steigung: Gerade fällt von links nach rechts
  • Steigung = 0: Horizontale Gerade (parallel zur X-Achse)
  • Steigung = 1: 45° Anstieg (m = tan(45°))
  • Große Steigung: Steile Gerade
  • Kleine Steigung: Flache Gerade

Zusammenhang zwischen Steigung und Winkel

Die Steigung und der Neigungswinkel stehen in direkter Beziehung zueinander:

Steigung aus Winkel
\[m = \tan(\alpha)\]

Steigung ist der Tangens des Winkels

Winkel aus Steigung
\[\alpha = \arctan(m)\]

Winkel ist der Arkustangens der Steigung

Formeln zur Steigungsberechnung

Hauptformel - Steigung zwischen zwei Punkten
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Steigung = Änderung in Y-Richtung ÷ Änderung in X-Richtung

Winkel zur X-Achse (Arkussinus)
\[\alpha = \arcsin\left(\frac{y_2-y_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}\right)\]

Berechnung über den Sinus des Steigungsdreiecks

Winkel zur X-Achse (Arkuskosinus)
\[\alpha = \arccos\left(\frac{x_2-x_1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}\right)\]

Berechnung über den Kosinus des Steigungsdreiecks

Entfernung zwischen Punkten
\[c = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Hypotenuse des Steigungsdreiecks

Steigung über Tangens
\[m = \tan(\alpha) \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \arctan(m)\]

Direkter Zusammenhang zwischen Steigung und Winkel

Beispiel

Beispielrechnung
A(0,0) B(6,8)
Steigung berechnen
\[m = \frac{8-0}{6-0} = \frac{4}{3} \approx 1,33\]

Die Steigung beträgt 4/3 ≈ 1,33

Winkel berechnen
\[\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53,13°\]

Der Neigungswinkel beträgt etwa 53,13°

Interpretation
  • Steigung 4/3: Pro 3 X-Einheiten steigt Y um 4
  • Positive Steigung: Gerade steigt an
  • Steiler Anstieg: Winkel > 45°
Anwendungen

Straßenneigung, Dachneigung, Geländeprofile, technische Zeichnungen.

Steigung in der Praxis verstehen

Die Steigung einer Geraden ist ein fundamentales Konzept in der Mathematik und beschreibt, wie stark eine Linie ansteigt oder abfällt. Sie ist definiert als das Verhältnis der vertikalen Änderung zur horizontalen Änderung zwischen zwei Punkten.

Geometrische Bedeutung

Die Steigung m einer Geraden zwischen zwei Punkten A(x₁,y₁) und B(x₂,y₂) wird berechnet als:

\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{horizontale Entfernung}}\]

Arten der Steigung

Positive Steigung (m > 0)

Die Gerade steigt von links nach rechts an. Je größer der Wert, desto steiler der Anstieg.

Negative Steigung (m < 0)

Die Gerade fällt von links nach rechts ab. Je negativer der Wert, desto steiler der Abfall.

Nullsteigung (m = 0)

Die Gerade verläuft horizontal. Es gibt keine Änderung in Y-Richtung.

Unendliche Steigung

Bei vertikalen Geraden ist die Steigung nicht definiert (Division durch Null).

Praktische Anwendungen

Die Steigungsberechnung findet sich in vielen praktischen Bereichen:

  • Bauwesen: Dachneigungen, Rampen, Straßensteigungen
  • Geografie: Geländeprofile, Höhenlinien in Karten
  • Wirtschaft: Wachstumsraten, Trends in Diagrammen
  • Physik: Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme, Kraft-Weg-Diagramme
  • Technik: Maschinenbau, Elektronik (Kennlinien)

Besondere Steigungswerte

m = 1

45° Anstieg
α = arctan(1) = 45°

m = √3 ≈ 1,73

60° Anstieg
α = arctan(√3) = 60°

m = 1/√3 ≈ 0,58

30° Anstieg
α = arctan(1/√3) = 30°

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