Statistik

Mathematische Lösungen und Beispiele zur Statistik

Lagemaße und Mittelwerte

Arithmetisches Mittel

Durchschnittswert und Basis der Datenanalyse
Median

Mittlerer Wert einer sortierten Datenreihe
Geometrisches Mittel

Durchschnitt für relative Änderungen
Harmonisches Mittel

Durchschnitt für Raten und Verhältnisse
Kontraharmonisches Mittel

Spezialisierter Mittelwert für bestimmte Datentypen
Five Number Summary

Min, Q1, Median, Q3, Max - Verteilungsübersicht

Streuungsmaße und Variabilität

Gepoolte Varianz

Kombinierte Varianz zweier Stichproben
Gepoolte Standardabweichung

Kombinierte Standardabweichung aus mehreren Stichproben
Kovarianz

Gemeinsame Variation zweier Variablen

Wahrscheinlichkeit und Verteilungen

Empirische Verteilungsfunktion

Kumulative Verteilungsfunktion (CDF)
Geburtstagsparadoxon

Wahrscheinlichkeit gleicher Geburtstage - kontraintuitive Mathematik

Über Statistik

Die Statistik ist die Wissenschaft von der Analyse und Interpretation von Daten. Statistische Berechnungen bilden die Grundlage für Datenanalyse, Qualitätskontrolle und fundierte Entscheidungsfindung in vielen Bereichen.

  • Lagemaße - Mittelwerte und Trends
  • Streuungsmaße - Variabilität und Abweichung
  • Datenanalyse - Verständnis von Mustern
  • Wahrscheinlichkeit - Vorhersagefähigkeit
  • Verteilungen - Datenverteilungsmuster
  • Inferenz - Von Stichprobe zur Population
Fundamentale statistische Konzepte
Lagemaße
μ = Σx/n (Mittelwert)
Median = mittlerer Wert
Modus = häufigster Wert
Streuungsmaße
σ² = Σ(x-μ)²/n (Varianz)
σ = √σ² (Standardabweichung)
Wahrscheinlichkeit
P(A) = Fälle/Gesamt
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Kovarianz
Cov(X,Y) = Σ(x-μₓ)(y-μᵧ)/n
Korrelation = Cov(X,Y)/(σₓ·σᵧ)
Lerntipp: Verwenden Sie beschreibende Statistik zur Datenexploration, bevor Sie inferentielle Methoden anwenden. Überprüfen Sie immer die Annahmen Ihrer statistischen Tests und achten Sie auf Ausreißer.

Praktische Anwendungsbeispiele

Qualitätskontrolle
  • Standardabweichung: Prozessstreuung analysieren
  • Mittelwert: Zielabweichungen erkennen
  • Quartile: Toleranzgrenzen setzen
Finanzwesen
  • Varianz: Risikomessung für Portfolios
  • Kovarianz: Korrelation zwischen Anlagesegmenten
  • Value-at-Risk: Wahrscheinlichkeit von Verlusten
Medizin & Epidemiologie
  • Mittelwert: Durchschnittliche Behandlungsergebnisse
  • Median: Robuste Tendenzmessung bei Ausreißern
  • Standardabweichung: Referenzbereiche für Messwerte
Marktforschung & Umfragen
  • Arithmetisches Mittel: Durchschnittliche Zufriedenheit
  • Wahrscheinlichkeit: Konfidenzintervalle
  • Korrelation: Beziehungen zwischen Variablen
Schnellreferenz
μ = Σx/n
Mittelwert
σ² = Σ(x-μ)²/n
Varianz
σ = √σ²
Std.abw.
P(A|B)
Bedingt
Cov(X,Y) = Σ(x-μₓ)(y-μᵧ)/n
Kovarianz