Median (Zentralwert)

Berechnung und Analyse des Medians in der Statistik

Der Median (Zentralwert) ist ein wichtiges statistisches Maß der zentralen Tendenz. Er ist der Wert, der genau in der Mitte einer nach Größe sortierten Datenreihe liegt. Der Median teilt eine Verteilung in zwei gleich große Hälften.

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist der Median robuster gegen Ausreißer und wird oft in der praktischen Statistik verwendet, um ein repräsentativeres Bild der Daten zu erhalten.

Grundkonzept des Medians

Der Median wird berechnet, indem man alle Werte der Größe nach sortiert und den mittleren Wert auswählt:

Bei ungerader Anzahl: Der Median ist die mittlere Zahl
Bei gerader Anzahl: Der Median ist der Durchschnitt der beiden mittleren Zahlen
Sortierung erforderlich: Alle Werte müssen von klein nach groß geordnet sein
Lagemaß: Der Median ist ein Lagemaß und nicht vom Rechenverfahren abhängig

Definition des Medians:

Der Median ist der Wert, der die sortierte Reihe in zwei Teile mit gleicher Häufigkeit teilt. Für eine Reihe mit n Werten:

\(\displaystyle \text{Median} = \begin{cases} x_{\frac{n+1}{2}} & \text{wenn } n \text{ ungerade} \\ \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} & \text{wenn } n \text{ gerade} \end{cases}\)

Fall 1: Ungerade Anzahl von Werten

Wenn die Anzahl der Werte ungerade ist, ist der Median einfach der mittlere Wert der sortierten Reihe.

Beispiel 1: Einfaches Beispiel

Datensatz mit 5 Werten

Unsortierte Daten: 7, 9, 12, 1, 3, 2, 14

Anzahl der Werte: n = 7 (ungerade)

Sortiert: 1, 2, 3, 7, 9, 12, 14

Position des Medians: (7+1)/2 = 4. Position

Resultat: Median = 7

Erklärung:

Der Datensatz hat 7 Werte. Nach dem Sortieren steht die 7 genau in der Mitte (es gibt 3 Werte vor der 7 und 3 Werte nach der 7).

Beispiel 2: Eintrittsalter

Altersangaben von 5 Personen

Daten (unsortiert): 18, 23, 19, 25, 21

Anzahl: n = 5 (ungerade)

Daten (sortiert): 18, 19, 21, 23, 25

Position: (5+1)/2 = 3. Position

Resultat: Median = 21 Jahre

Fall 2: Gerade Anzahl von Werten

Wenn die Anzahl der Werte gerade ist, ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Beispiel 1: 8 Werte

Datensatz mit 8 Werten

Unsortierte Daten: 7, 9, 12, 1, 3, 2, 14, 8

Anzahl der Werte: n = 8 (gerade)

Sortiert: 1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 14

Mittlere Positionen: 4. und 5. Position

Berechnung:

\(\displaystyle \text{Median} = \frac{7 + 8}{2} = 7,5\)

Resultat: Median = 7,5

Beispiel 2: Vier Messwerte

Längenmessungen

Messwerte (cm): 1, 2, 6, 9

Anzahl: n = 4 (gerade)

Bereits sortiert: 1, 2, 6, 9

Mittlere Werte: 2 und 6

Berechnung:

\(\displaystyle \text{Median} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \text{ cm}\)

Resultat: Median = 4 cm

Median vs. Arithmetisches Mittel

Der Median und das arithmetische Mittel sind beide Maße der zentralen Tendenz, unterscheiden sich aber in wichtigen Eigenschaften:

Eigenschaft	Median	Arithmetisches Mittel
Definition	Mittlerer Wert der sortierten Reihe	Summe aller Werte geteilt durch Anzahl
Berechnung	Sortierung notwendig	Nur Addition und Division
Ausreißer	Robust gegen Ausreißer	Empfindlich gegen Ausreißer
Verwendung	Bei schiefen Verteilungen besser	Bei normalverteilten Daten besser
Eindeutigkeit	Immer eindeutig definiert	Eindeutig für alle Datensätze

Beispiel: Einfluss von Ausreißern

Gehälter in einer Gruppe

Gehälter (€): 35.000, 38.000, 40.000, 42.000, 200.000

Sortiert: 35.000, 38.000, 40.000, 42.000, 200.000

Median: 40.000 € (mittlerer Wert)

Arithmetisches Mittel: (35.000+38.000+40.000+42.000+200.000)/5 = 71.000 €

Analyse: Der Ausreißer (200.000 €) beeinflusst das Mittel stark, der Median bleibt aussagekräftig.

Wichtig:

Wenn extreme Ausreißer vorhanden sind, ist der Median oft ein besseres Maß für die typische Datenmitte als das arithmetische Mittel.

Allgemeine Berechnungsmethode

Hier ist die Schritt-für-Schritt-Methode zur Berechnung des Medians für jeden Datensatz:

Schritte zur Medianberechnung

Schritt 1: Zähle die Anzahl der Werte (n)

Schritt 2: Sortiere alle Werte von klein nach groß

Schritt 3 (Falls n ungerade): Nimm den Wert an Position (n+1)/2

Schritt 3 (Falls n gerade): Berechne den Durchschnitt der Werte an Position n/2 und (n/2)+1

Praktische Anwendungen des Medians

Einkommensstatistik: Median-Einkommen besser für Vergleiche als Mittelwert
Immobilienmarkt: Median-Hauspreise als repräsentativeres Maß
Gesundheitswesen: Median-Überlebenszeit in medizinischen Studien
Bildung: Median-Noten für gerechtere Bewertungen
Qualitätskontrolle: Median-Messungen bei Prozessüberwachung
Marktforschung: Median-Haushaltsgröße in Bevölkerungsstudien
Informatik: Median-Laufzeit bei Algorithmus-Analyse

Tipps und häufige Fehler

Hilfreiche Tipps:

Sortiere zuerst! Sortiere IMMER die Daten vor der Berechnung
Position merken: Bei ungeraden n: Position ist (n+1)/2
Durchschnitt bilden: Bei geraden n: Durchschnitt der beiden mittleren Werte
Duplikate berücksichtigen: Gleiche Werte normal zählen
Vergleich mit Mittelwert: Prüfe, ob Ausreißer vorhanden sind

Häufige Fehler:

FALSCH: Median ohne Sortierung berechnen | RICHTIG: Zuerst sortieren
FALSCH: Falscher Index verwenden | RICHTIG: (n+1)/2 für ungerade
FALSCH: Nur eine der beiden Mitten nehmen | RICHTIG: Durchschnitt bei geraden n
FALSCH: Dezimalposition ignorieren | RICHTIG: Korrekt auf nächste Position runden
FALSCH: Median mit Mittelwert verwechseln | RICHTIG: Unterschiedliche Konzepte

Online-Rechner und Tools

Um den Median schnell zu berechnen oder zu überprüfen:

Median online berechnen