Geburtstagsparadoxon

Formeln, Herleitung und praktische Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Das Geburtstagsparadoxon ist eines der faszinierendsten Phänomene der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es beschreibt die überraschend hohe Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.

Das "Paradoxon" liegt darin, dass man intuitiv eine viel größere Personengruppe erwartet würde — doch die mathematische Realität ist kontraintuitiv: Bereits mit nur 23 Personen liegt die Wahrscheinlichkeit über 50%! Bei 70 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit bereits über 99%.

Dieses Phänomen tritt auf, weil die Anzahl der möglichen Paarungen exponentiell mit der Personenanzahl wächst — nicht linear, wie man naiv annehmen könnte.

Grundkonzept des Geburtstagsparadoxons

Der Schlüssel zum Verständnis liegt darin, das Problem umzukehren: Anstatt die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen unterschiedliche Geburtstage haben — und subtrahieren diese von 1.

  • Paarweise Unabhängigkeit: Jede Person kann einen von 365 Tagen haben
  • Multiplikationsprinzip: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren sich
  • Komplementärwahrscheinlichkeit: 1 - P(alle unterschiedlich) = P(mindestens zwei gleich)
  • Exponentielles Wachstum: Anzahl der Paarungen wächst mit \(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\)
  • Unabhängigkeit der Tage: Ein Tag hat keine höhere oder niedrigere Wahrscheinlichkeit
Das Paradoxon:

Während man intuitiv etwa 180 Personen erwarten würde (ca. 365/2), benötigt man tatsächlich nur etwa 23 Personen für eine 50%-Wahrscheinlichkeit. Dies ist das "Paradoxon" — ein Verstoß gegen intuitive Erwartungen.

Formeln des Geburtstagsparadoxons

Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle \(n\) Personen unterschiedliche Geburtstage haben:

\(\displaystyle P(\text{alle unterschiedlich}) \)\(\displaystyle = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \frac{365-(n-1)}{365}\)

Vereinfachte Darstellung

\(\displaystyle P(\text{alle unterschiedlich}) = \prod_{i=0}^{n-1} \frac{365-i}{365}\)

Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei gleiche Geburtstage

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben:

\(\displaystyle P(\text{mindestens 2 gleich})\) = 1 - P(\text{alle unterschiedlich})\)

Vollständige Formel

\(\displaystyle P(n) = 1 - \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \frac{365-(n-1)}{365}\)

Bedeutung der Symbole

  • \(n\): Anzahl der Personen
  • \(P(n)\): Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei gleiche Geburtstage
  • 365: Anzahl der Tage im Jahr (Schaltjahre werden ignoriert)
  • \(\prod\): Produktzeichen (Multiplikation aller Terme)

Herleitung und Verständnis

Die Herleitung basiert auf dem Konzept der Komplementärwahrscheinlichkeit:

  1. Erste Person: Kann an jedem Tag Geburtstag haben: \(P = 1\) (oder \(\frac{365}{365}\))
  2. Zweite Person: Darf nicht am gleichen Tag Geburtstag haben: \(P = \frac{364}{365}\)
  3. Dritte Person: Darf nicht an den ersten zwei Tagen Geburtstag haben: \(P = \frac{363}{365}\)
  4. n-te Person: Hat \(365-(n-1)\) mögliche Tage: \(P = \frac{365-(n-1)}{365}\)
Warum multiplizieren?

Da alle Bedingungen erfüllt sein müssen (die zweite Person muss unterschiedlich sein UND die dritte Person muss unterschiedlich sein, etc.), multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten (Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse).

Praktische Beispiele: Schritt-für-Schritt

Beispiel 1: Zwei Personen

Wahrscheinlichkeit für n = 2
Formel:
\(\displaystyle P(2) = 1 - \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365}\)
Berechnung:
\(\displaystyle P(2) = 1 - 1 \cdot 0.9973 = 1 - 0.9973 \)\(\displaystyle = \color{blue}{0.0027} = 0.27\% \)

Beispiel 2: Drei Personen

Wahrscheinlichkeit für n = 3
Formel:
\(\displaystyle P(3) = 1 - \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365}\)
Berechnung:
\(\displaystyle P(3) = 1 - (1 \cdot 0.9973 \cdot 0.9945)\) \(\displaystyle = 1 - 0.9918 \) \(\displaystyle = \color{blue}{0.0082} = 0.82\%\)

Beispiel 3: Fünf Personen

Wahrscheinlichkeit für n = 5
Formel:
\(\displaystyle P(5)\)\(\displaystyle = 1 - \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} \cdot \frac{361}{365}\)
Berechnung (alle unterschiedlich):
\(\displaystyle 1 \cdot 0.9973 \cdot 0.9945 \cdot 0.9918 \cdot 0.9890\)\(\displaystyle = 0.9729\)
Endresultat:
\(\displaystyle P(5) = 1 - 0.9729 = \color{blue}{0.0271} = 2.71\%\)

Geburtstagsparadoxon Wahrscheinlichkeitstabelle

Übersicht der Wahrscheinlichkeit für verschiedene Personenanzahlen:

Anzahl Personen (n) P(mindestens 2 gleich) Prozent
2 0.0027 0.27%
5 0.0271 2.71%
10 0.1169 11.69%
15 0.2529 25.29%
20 0.4114 41.14%
23 0.5073 50.73%
30 0.7063 70.63%
40 0.8912 89.12%
50 0.9704 97.04%
60 0.9941 99.41%
70 0.9992 99.92%
Das Zentrum:

Die Tabelle zeigt, warum 23 Personen das "magische" Minimum sind: Bei 23 Personen übersteigt die Wahrscheinlichkeit erstmals 50%.

Warum ist das kontraintuitiv?

Unser intuitives Verständnis führt oft in die Irre. Der Grund liegt darin, dass wir die Anzahl der möglichen Paarungen unterschätzen:

Paarungswachstum
  • Bei 2 Personen: \(\binom{2}{2} = 1\) mögliche Paarung
  • Bei 5 Personen: \(\binom{5}{2} = 10\) mögliche Paarungen
  • Bei 10 Personen: \(\binom{10}{2} = 45\) mögliche Paarungen
  • Bei 23 Personen: \(\binom{23}{2} = 253\) mögliche Paarungen!
  • Bei 50 Personen: \(\binom{50}{2} = 1225\) mögliche Paarungen!

Mit 253 möglichen Paarungen wird es schnell sehr wahrscheinlich, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.

Anwendungen und Relevanz

  • Hash-Kollisionen: In der Informatik (Ziegenbock-Problem)
  • Kryptografie: Sicherheitsanalyse von Hash-Funktionen
  • Statistik: Demonstration von probabilistischen Phänomenen
  • Qualitätskontrolle: Analyse von Duplikaten in Datensätzen
  • Risikobewertung: Verstehen unerwarteter Ereignisse
  • Bildung: Kontraintuitive Wahrscheinlichkeit lehren
Wichtige Annahmen:
  • Alle 365 Tage sind gleich wahrscheinlich (nicht realistisch, aber als Approximation akzeptabel)
  • Schaltjahre werden ignoriert
  • Die Geburtstage sind unabhängig (Zwillinge widersprechen dieser Annahme)
  • Keine systematischen Muster bei Geburtstagen

Tipps und häufige Fehler

Hilfreiche Tipps:
  • Komplementär denken: Es ist einfacher, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle unterschiedlich sind
  • Mit 1 anfangen: Die erste Person trägt immer 365/365 = 1 bei
  • Multiplikationsprinzip: Alle Bedingungen sind erforderlich, daher multiplizieren
  • Mit Taschenrechner prüfen: Das Ergebnis ist oft überraschend!
  • Visualisierung nutzen: Ein Diagramm zeigt das exponentielle Wachstum
Häufige Fehler:
  • FALSCH: Direkt die Wahrscheinlichkeit berechnen | RICHTIG: 1 - P(alle unterschiedlich)
  • FALSCH: Wahrscheinlichkeiten addieren | RICHTIG: Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
  • FALSCH: Mit n/365 abschätzen | RICHTIG: Exponentiales Wachstum beachten
  • FALSCH: Die 50%-Marke bei n=183 erwartet | RICHTIG: Bei n=23!
  • FALSCH: Schaltjahre einbeziehen | RICHTIG: Standard ist 365 Tage

Online-Rechner und Tools

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für beliebige Personenanzahlen:



Arithmetisches Mittel (Durchschnitt) • Five Number • Median • Empirische Verteilungsfunktion • Geometrisches Mittel • Gepoolte Standardabweichung • Gepoolte Varianz • Harmonisches Mittel • Kontraharmonisches Mittel • Kovarianz
Geburtstagsparadoxon


















Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?