Harmonisches Mittel

Berechnung und Analyse des Harmonischen Mittels von Zahlenwerten

Das Harmonische Mittel ist ein wichtiger Mittelwert, der speziell für Verhältniszahlen und Quotienten verwendet wird. Es wird berechnet, indem man die Anzahl der Werte durch die Summe ihrer Kehrwerte dividiert.

Das harmonische Mittel ist besonders nützlich, wenn man Durchschnittsgeschwindigkeiten, Durchschnittsdichten oder andere Quotienten berechnen möchte. Es ist das kleinste der drei klassischen Mittelwerte: harmonisch ≤ geometrisch ≤ arithmetisch.

Grundkonzept des Harmonischen Mittels

Das Harmonische Mittel wird durch die Summe der Kehrwerte der Datenpunkte definiert. Es ist ideal für Verhältnisse und ist sehr nützlich in praktischen Anwendungen wie Geschwindigkeit und Dichte.

Auf Kehrwerten basierend: Basiert auf der Summe der Kehrwerte (1/x)
Nur für positive Zahlen: Alle Werte müssen größer als null sein
Ideal für Quotienten: Besonders geeignet für Durchschnittsverhältnisse
Kleinster Mittelwert: Immer ≤ geometrisches Mittel ≤ arithmetisches Mittel
Praktische Anwendungen: Durchschnittsgeschwindigkeiten, Resistanzen, Dichten

Definition des Harmonischen Mittels:

\(\displaystyle H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\)

H: Harmonisches Mittel
n: Anzahl der Werte
x₁, x₂, ..., xₙ: Die einzelnen Zahlenwerte
∑ 1/xᵢ: Summe aller Kehrwerte

Alternative Form (Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte)

Äquivalente Formel:

\(\displaystyle H = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\)

Das harmonische Mittel ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte der Datenpunkte.

Praktisches Beispiel 1: Einfache Zahlenwerte

Berechne das harmonische Mittel der 5 Zahlen: 5, 3, 4, 2, 6

Schritt-für-Schritt Berechnung

Gegeben: 5, 3, 4, 2, 6

Anzahl der Werte: n = 5

Kehrwerte: 1/5, 1/3, 1/4, 1/2, 1/6

Dezimaldarstellung der Kehrwerte: 0,2 + 0,333... + 0,25 + 0,5 + 0,167... = 1,450

Oder mit Brüchen:

\(\displaystyle \frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)\(\displaystyle = \frac{12 + 20 + 15 + 30 + 10}{60} = \frac{87}{60} = 1,45\)

Harmonisches Mittel:

\(\displaystyle H = \frac{5}{1,45} \approx 3,448\)

Resultat: Das harmonische Mittel beträgt etwa 3,45

Erklärung:

Das harmonische Mittel von 3,45 bedeutet, dass wenn alle 5 Zahlen den gleichen Wert (3,45) hätten, würde die Summe ihrer Kehrwerte gleich 1,45 ergeben.

Praktisches Beispiel 2: Durchschnittsgeschwindigkeit

Ein Auto fährt mehrere Streckenabschnitte gleicher Länge mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit

Strecke 1: 100 km mit 80 km/h

Strecke 2: 100 km mit 120 km/h

Strecke 3: 100 km mit 100 km/h

Geschwindigkeitsangaben: 80, 120, 100 km/h

Harmonisches Mittel:

\(\displaystyle H = \frac{3}{\frac{1}{80} + \frac{1}{120} + \frac{1}{100}}\)\(\displaystyle = \frac{3}{0,01417} \approx 98,31 \text{ km/h}\)

Interpretation: Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt etwa 98,31 km/h

Hinweis: Das arithmetische Mittel (100 km/h) wäre hier falsch, da die Streckenabschnitte gleich lang sind, nicht die Zeiten!

Wichtig:

Bei gleichlangen Streckenabschnitten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ist das harmonische Mittel die korrekte Durchschnittsgeschwindigkeit, NICHT das arithmetische Mittel!

Praktisches Beispiel 3: Parallele Widerstände (Elektrotechnik)

Drei Widerstände von 10 Ω, 15 Ω und 20 Ω sind parallel geschaltet. Berechne den Gesamtwiderstand.

Berechnung des Gesamtwiderstands

Widerstände: 10 Ω, 15 Ω, 20 Ω

Formel für parallele Widerstände: R_ges = H/n (harmonisches Mittel)

Berechnung:

\(\displaystyle R_{\text{ges}} = \frac{3}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}}\) \(\displaystyle = \frac{3}{0,2333} \approx 5,45 \text{ Ω}\)

Resultat: Der Gesamtwiderstand beträgt etwa 5,45 Ω

Die drei klassischen Mittelwerte im Vergleich

Es gibt eine wichtige Beziehung zwischen den drei klassischen Mittelwerten: harmonisch ≤ geometrisch ≤ arithmetisch

Eigenschaft	Harmonisches Mittel	Geometrisches Mittel	Arithmetisches Mittel
Formel	\(\frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}}\)	\(\sqrt[n]{\prod x_i}\)	\(\frac{\sum x_i}{n}\)
Basiert auf	Kehrwerte	Produkt	Summe
Geeignet für	Quotienten, Geschwindigkeiten, Widerstände	Wachstumsraten, Verhältnisse	Durchschnittswerte, Messwerte
Anforderungen	Nur positive Werte	Nur positive Werte	Positive und negative Werte
Beziehung	\(H \leq G \leq A\)

Numerisches Vergleichsbeispiel

Vergleich mit den Zahlen 2, 8

Arithmetisches Mittel:

\(\displaystyle \frac{2 + 8}{2} = 5\)

Geometrisches Mittel:

\(\displaystyle \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4\)

Harmonisches Mittel:

\(\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{8}} = \frac{2}{\frac{5}{8}} = 3,2\)

Vergleich: 3,2 < 4 < 5 (Harmonisch < Geometrisch < Arithmetisch) ✓

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