Median berechnen
Online Rechner zur Berechnung des statistischen mittleren Wertes (Median) einer Datenreihe
Median Rechner
Der Median
Der Median (auch Zentralwert genannt) ist der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe. Er ist ein robustes Lagemaß, das unempfindlich gegenüber Ausreißern ist.
Median Konzept
Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Datenreihe.
Er teilt die Daten in zwei gleich große Hälften.
● Datenpunkte ● Median (mittlerer Wert)
Was ist der Median?
Der Median (Zentralwert) ist ein fundamentales Lagemaß der Statistik:
- Definition: Mittlerer Wert einer sortierten Datenreihe
- Position: Bei ungerader Anzahl: mittlerer Wert, bei gerader Anzahl: Durchschnitt der beiden mittleren Werte
- Quantil: Der Median entspricht dem 0.5-Quantil (50. Perzentil)
- Robustheit: Unempfindlich gegenüber Ausreißern und extremen Werten
- Interpretation: Teilt die Daten in zwei gleich große Hälften
- Anwendung: Besonders geeignet bei schiefen Verteilungen
Berechnung des Medians
Die Berechnung hängt von der Anzahl der Datenwerte ab:
Ungerade Anzahl
- 1. Sortiere die Daten aufsteigend
- 2. Bestimme die Position: k = (n+1)/2
- 3. Der k-te Wert ist der Median
- Beispiel: Bei 7 Werten ist Position (7+1)/2 = 4
Gerade Anzahl
- 1. Sortiere die Daten aufsteigend
- 2. Finde die beiden mittleren Werte (Position n/2 und n/2+1)
- 3. Berechne den Durchschnitt der beiden Werte
- Beispiel: Bei 8 Werten: (Wert₄ + Wert₅)/2
Anwendungen des Medians
Der Median findet in vielen Bereichen Anwendung:
Statistische Analyse
- Robustes Lagemaß bei Ausreißern
- Deskriptive Statistik (zusammen mit Quartilen)
- Boxplot-Darstellungen
- Vergleich mit arithmetischem Mittel zur Schiefe-Erkennung
Praktische Anwendungen
- Immobilien: Medianpreis von Häusern
- Einkommen: Medianeinkommen (robuster als Durchschnitt)
- Bildung: Mediannotenoder Testergebnisse
- Medizin: Medianüberlebenszeit in Studien
Formeln zum Median
Median (ungerade Anzahl)
Bei n ungerader Zahlen: der mittlere Wert der sortierten Liste
Median (gerade Anzahl)
Bei n gerader Zahlen: Durchschnitt der beiden mittleren Werte
Median als Quantil
Der Median ist das 0.5-Quantil (50. Perzentil) der Verteilung
Allgemeine Form
Fallunterscheidung nach Parität von n
Symbolerklärungen
| \(\tilde{x}\) | Median (auch Me oder x̃) |
| \(x_{(k)}\) | k-ter Wert der sortierten Liste |
| \(n\) | Anzahl der Datenpunkte |
| \(Q(p)\) | Quantilfunktion |
| \(F^{-1}\) | Inverse Verteilungsfunktion |
| 0.5 | 50. Perzentil (50%) |
Beispielrechnungen für den Median
Beispiel 1: Ungerade Anzahl
Berechne: Median der 7 Werte
1. Daten sortieren
Aufsteigende Sortierung der Datenwerte
2. Position bestimmen
Der 4. Wert der sortierten Liste ist der Median
Beispiel 2: Gerade Anzahl
Berechne: Median der 8 Werte
1. Daten sortieren
Die beiden mittleren Werte sind 7 und 8
2. Durchschnitt berechnen
Mittelwert der Werte an Position 4 und 5
Beispiel 3: Gerade Anzahl mit Lücke
Berechne: Median mit größerer Lücke zwischen mittleren Werten
1. Bereits sortiert
Die mittleren Werte sind 2 und 6
2. Median berechnen
Der Median 4 liegt zwischen den Datenwerten
Interpretation
Der Median muss nicht in den Daten vorkommen. Bei gerader Anzahl liegt er oft zwischen zwei Werten. In diesem Fall bedeutet Median = 4: 50% der Werte sind ≤ 4, 50% sind ≥ 4.
Mathematische Grundlagen des Medians
Der Median ist ein robustes Lagemaß mit wichtigen Eigenschaften, das insbesondere bei schiefen Verteilungen dem arithmetischen Mittel vorzuziehen ist.
Eigenschaften des Medians
Der Median besitzt wichtige mathematische Eigenschaften:
- Robustheit: Unempfindlich gegenüber Ausreißern – extreme Werte beeinflussen den Median kaum
- Existenz: Existiert immer für jede endliche Datenmenge
- Eindeutigkeit: Der Median ist immer eindeutig bestimmt (auch bei gerader Anzahl durch Konvention)
- Positionsinvarianz: Invariant unter monotonen Transformationen
- Minimierung: Der Median minimiert die Summe der absoluten Abweichungen: ∑|xᵢ - Med| ist minimal
Median vs. Arithmetisches Mittel
Die Wahl zwischen Median und Mittelwert hängt von den Daten ab:
Wann Median verwenden?
- Schiefe Verteilungen: Bei asymmetrischen Daten (z.B. Einkommen, Immobilienpreise)
- Ausreißer: Wenn extreme Werte vorhanden sind
- Ordinale Daten: Bei Rangdaten ohne metrische Abstände
- Robustheit: Wenn Widerstandsfähigkeit gegen extreme Werte wichtig ist
Wann Mittelwert verwenden?
- Symmetrische Verteilungen: Bei normalverteilten oder annähernd symmetrischen Daten
- Keine Ausreißer: Wenn extreme Werte aussagekräftig sind
- Metrische Daten: Bei Verhältnis- oder Intervallskalen
- Mathematische Eigenschaften: Wenn algebraische Operationen wichtig sind
Beziehung zu Quantilen
Der Median ist eng mit dem Quantilkonzept verbunden:
Der Median als Quantil
Der Median ist das 0.5-Quantil (50. Perzentil oder zweites Quartil Q₂). Er teilt die Daten so, dass 50% der Werte darunter und 50% darüber liegen.
Quartile und Median
Der Median gehört zu den drei Quartilen: Q₁ (25%), Q₂ = Median (50%), Q₃ (75%). Zusammen bilden sie die Grundlage für Boxplots.
Anwendungen in verschiedenen Bereichen
Wirtschaft und Sozialwissenschaften
- Einkommensstatistik: Medianeinkommen besser als Durchschnitt bei Schiefe
- Immobilien: Medianpreis aussagekräftiger als Durchschnittspreis
- Bildung: Mediannotenals robustes Maß
- Demografie: Medianalter einer Bevölkerung
Naturwissenschaften und Medizin
- Klinische Studien: Medianüberlebenszeit (robust gegenüber Zensierung)
- Laborwerte: Referenzwerte oft als Median angegeben
- Umweltdaten: Mediankonzentrationen bei Schadstoffen
- Astronomie: Medianhelligkeit von Sternen
Schiefe und Median
Die Beziehung zwischen Median und Mittelwert gibt Auskunft über die Schiefe:
Symmetrisch
Mittelwert ≈ Median
Normalverteilung
Rechtsschief
Mittelwert > Median
z.B. Einkommen
Linksschief
Mittelwert < Median
z.B. Prüfungsnoten
Zusammenfassung
Der Median ist ein robustes und intuitiv verständliches Lagemaß, das den "typischen" mittleren Wert einer Verteilung angibt. Seine Unempfindlichkeit gegenüber Ausreißern macht ihn besonders wertvoll in der praktischen Datenanalyse, insbesondere bei schiefen Verteilungen. Als 50. Perzentil ist er ein Spezialfall der Quantilfunktion und bildet zusammen mit den Quartilen die Grundlage für wichtige explorative Datenanalysemethoden wie den Boxplot.
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