Diskriminante

Rechner zur Bestimmung der Anzahl und Art der Lösungen quadratischer Gleichungen

Diskriminante Rechner

Was wird berechnet?

Die Diskriminante D = b² - 4ac einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 bestimmt die Anzahl und Art der Lösungen. Sie ist der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel.

Koeffizienten der quadratischen Gleichung
ax² + bx + c = 0
a ≠ 0 erforderlich
Linearer Term
Absolutes Glied
Ergebnis
Diskriminante D = b² - 4ac
Die Diskriminante bestimmt die Anzahl reeller Lösungen der quadratischen Gleichung

Diskriminante Info

Interpretation

Diskriminante D = b² - 4ac:

D > 0: Zwei reelle Lösungen D = 0: Eine reelle Lösung D < 0: Keine reellen Lösungen

Geometrisch: Die Diskriminante zeigt, wie oft die Parabel die x-Achse schneidet.

Schnelle Beispiele
x² - 4 = 0:
D = 0² - 4(1)(-4) = 16 > 0
→ Zwei Lösungen: x = ±2
x² - 2x + 1 = 0:
D = (-2)² - 4(1)(1) = 0
→ Eine Lösung: x = 1
x² + 1 = 0:
D = 0² - 4(1)(1) = -4 < 0
→ Keine reellen Lösungen
Verwandte Themen

→ Quadratische Gleichungen
→ Mitternachtsformel
→ Nullstellen berechnen


Formeln und Zusammenhänge

Diskriminante
\[D = b^2 - 4ac\] Grundformel
Mitternachtsformel
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] Mit D = b² - 4ac
Zwei reelle Lösungen (D > 0)
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]
Eine reelle Lösung (D = 0)
\[x = \frac{-b}{2a}\] Doppelte Nullstelle
Komplexe Lösungen (D < 0)
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}\] Mit i = √(-1)
Vieta'sche Formeln
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Scheitelpunkt
\[S = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)\] Parabel-Scheitelpunkt
Abstand der Nullstellen
\[|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}\] Falls D > 0

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: -2x² + 3x + 5 = 0

Gegeben:

  • a = -2 (Koeffizient von x²)
  • b = 3 (Koeffizient von x)
  • c = 5 (konstanter Term)

Schritt 1 - Diskriminante berechnen:

\[D = b^2 - 4ac\] \[D = 3^2 - 4(-2)(5)\] \[D = 9 + 40 = 49\]

Ergebnis: D = 49 > 0

→ Zwei verschiedene reelle Lösungen vorhanden!

Schritt 2 - Lösungen berechnen:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm 7}{-4}\] \[x_1 = \frac{-3 + 7}{-4} = \frac{4}{-4} = -1\] \[x_2 = \frac{-3 - 7}{-4} = \frac{-10}{-4} = 2.5\]

Geometrische Interpretation

Parabel und x-Achsen-Schnittpunkte
D > 0: Zwei Schnittpunkte

Parabel schneidet x-Achse zweimal

D = 0: Ein Berührpunkt

Parabel berührt x-Achse einmal

D < 0: Kein Schnittpunkt

Parabel liegt über x-Achse

Praktische Anwendungen

Physik
  • Wurfparabel-Berechnungen
  • Schwingungsanalyse
  • Optimierungsprobleme
  • Trajektorien bestimmen
Wirtschaft
  • Gewinn- und Kostenfunktionen
  • Break-Even-Analysen
  • Marktgleichgewicht
  • Optimale Produktionsmengen
Technik
  • Parabolantenne-Design
  • Brücken-Konstruktion
  • Signalverarbeitung
  • Kontrollsystem-Design

Historischer Kontext

Entwicklung der Theorie
  • Babylonier (~2000 v.Chr.): Erste quadratische Gleichungen
  • Al-Khwarizmi (~830): Systematische Lösung
  • Vieta (1540-1603): Symbolische Algebra
  • Moderne Form: 17./18. Jahrhundert
Mathematische Bedeutung
  • Fundamentaler Begriff der Algebra
  • Verallgemeinerung für höhere Polynome
  • Galois-Theorie und Lösbarkeit
  • Komplexe Zahlen entstanden daraus
Zusammenfassung

Die Diskriminante ist ein zentrales Konzept der Algebra, das die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen charakterisiert. Sie verbindet algebraische und geometrische Aspekte und findet breite Anwendung in Naturwissenschaft und Technik. Ihre Entwicklung war entscheidend für die Entstehung der modernen Algebra.




Mathematischen Gleichungen

Assoziativgesetz  •  Lineare Gleichung  •  Quadratische Gleichung  •  Kubische Gleichung  •  Diskriminante  •  Gauss-Verfahren  •