Lineare Gleichungen

Rechner zur Lösung linearer Gleichungen mit einer Unbekannten - das Fundament der Algebra

Lineare Gleichung Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion löst lineare Gleichungen der Form ax + b = 0 mit einer Unbekannten x. Lineare Gleichungen sind Grad 1 Polynome und bilden das Fundament der Algebra.

Koeffizienten der linearen Gleichung
ax + b = 0
a ≠ 0 für eindeutige Lösung
Absolutes Glied
Lösung der linearen Gleichung
Unbekannte x
Lineare Gleichungen haben höchstens eine Lösung

Lineare Gleichungen Info

Eigenschaften

Lineare Gleichungen:

  • Grad 1 Polynom
  • Höchstens eine Lösung
  • Graphisch: Gerade
  • Einfache Lösungsformel

Grundprinzip: Isolierung der Unbekannten durch Äquivalenzumformungen.

Lösungstypen
Eindeutige Lösung (a ≠ 0) Unendlich viele Lösungen (a = b = 0) Keine Lösung (a = 0, b ≠ 0)
Beispiele
2x + 5 = 0:
x = -5/2 = -2.5
3x - 9 = 0:
x = 9/3 = 3
0x + 1 = 0:
Keine Lösung
Verwandte Themen

→ Quadratische Gleichungen
→ Lineare Gleichungssysteme
→ Lineare Ungleichungen

Formeln und Theorie linearer Gleichungen

Standardform
\[ax + b = 0\] Lineare Gleichung
Lösungsformel
\[x = -\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)\] Direkte Lösung
Allgemeine Form
\[ax + b = c\] \[x = \frac{c - b}{a}\]
Steigung-Achsenabschnitt
\[y = mx + n\] Geradengleichung
Nullstelle
\[f(x) = ax + b\] \[x_0 = -\frac{b}{a}\]
Proportionalität
\[y = kx \quad (b = 0)\] Direkte Proportionalität
Punkt-Steigung-Form
\[y - y_1 = m(x - x_1)\] Gerade durch Punkt
Zwei-Punkte-Form
\[y = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) + y_1\] Gerade durch zwei Punkte

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: 2x + 5 = 0

Gegeben:

  • a = 2 (Koeffizient von x)
  • b = 5 (konstanter Term)

Gleichung:

\[2x + 5 = 0\]

Schritt 1: Isolierung von x durch Subtraktion

\[2x + 5 = 0\] \[2x = 0 - 5\] \[2x = -5\]

Schritt 2: Division durch den Koeffizienten

\[x = \frac{-5}{2}\] \[x = -2.5\]

Lösung: x = -2.5

Probe: 2(-2.5) + 5 = -5 + 5 = 0 ✓

Äquivalenzumformungen

Erlaubte Operationen (lösungserhaltend)
Addition/Subtraktion

Gleiche Zahl zu beiden Seiten addieren/subtrahieren

\[ax + b = 0 \quad | \pm c\] \[ax + b \pm c = \pm c\]

Terme verschieben

Multiplikation/Division

Beide Seiten mit derselben Zahl ≠ 0 multiplizieren/dividieren

\[ax + b = 0 \quad | \times k\] \[k(ax + b) = k \cdot 0\]

k ≠ 0 erforderlich

Systematisches Vorgehen
1. Vereinfachen
Klammern auflösen
2. Sammeln
x-Terme auf eine Seite
3. Isolieren
Konstanten subtrahieren
4. Dividieren
Durch Koeffizienten

Geometrische Interpretation

Lineare Funktion als Gerade
Positive Steigung

a > 0: Steigend

Negative Steigung

a < 0: Fallend

Horizontale Linie

a = 0: Konstant

Nullstelle und y-Achsenabschnitt

Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse):

\[x_0 = -\frac{b}{a}\]

y-Achsenabschnitt:

\[f(0) = b\]

Praktische Anwendungen

Wirtschaft & Finanzen
  • Kostenfunktionen
  • Gewinn-Verlust-Analyse
  • Break-Even-Point
  • Zinsenrechnung
Physik & Technik
  • Bewegungsgleichungen
  • Ohmsches Gesetz
  • Temperaturumrechnung
  • Proportionalitäten
Alltag & Geometrie
  • Maßstab-Berechnungen
  • Umrechnungen
  • Geradengleichungen
  • Zeitberechnungen

Spezielle Fälle

Eindeutige Lösung

Bedingung: a ≠ 0

\[x = -\frac{b}{a}\]

Genau ein Schnittpunkt mit x-Achse

Unendlich viele Lösungen

Bedingung: a = 0 und b = 0

\[0 \cdot x + 0 = 0\]

Jede reelle Zahl ist Lösung

Keine Lösung

Bedingung: a = 0 und b ≠ 0

\[0 \cdot x + b = 0\]

Widerspruch, keine Lösung möglich

Historischer Kontext

Entwicklung der linearen Algebra
  • Antike: Geometrische Probleme und Proportionen
  • Al-Khwarizmi (~830): Systematische Algebra
  • Vieta (16. Jh.): Symbolische Notation
  • Descartes (17. Jh.): Koordinatengeometrie
Moderne Bedeutung
  • Grundlage der höheren Mathematik
  • Lineare Systeme in allen Wissenschaften
  • Computergrafik und 3D-Modellierung
  • Maschinelles Lernen und KI
Zusammenfassung

Lineare Gleichungen bilden das Fundament der Algebra und sind trotz ihrer Einfachheit von fundamentaler Bedeutung für die gesamte Mathematik. Sie verbinden arithmetische Operationen mit geometrischen Konzepten und finden in praktisch allen quantitativen Wissenschaften Anwendung.

Mathematischen Gleichungen

Assoziativgesetz  •  Lineare Gleichung  •  Quadratische Gleichung  •  Kubische Gleichung  •  Diskriminante  •  Gauss-Verfahren  •