Gaußsches Eliminationsverfahren

Rechner zur systematischen Lösung linearer Gleichungssysteme mit ausführlichen Schritt-für-Schritt Anleitungen

Gauß-Verfahren Rechner

Was wird berechnet?

Das Gaußsche Eliminationsverfahren löst lineare Gleichungssysteme durch systematische Umformung der Koeffizientenmatrix zur Stufenform. Es ermittelt die Werte für alle Unbekannten durch sukzessive Elimination.

Lineares Gleichungssystem (2×2)
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
1. Gleichung a₁x + b₁y = c₁
2. Gleichung a₂x + b₂y = c₂
Lösung des Gleichungssystems
Variable x
Variable y
Das Gauß-Verfahren transformiert das System zu einer lösbaren Form

Gauß-Verfahren Info

Lösungstypen

Mögliche Ergebnisse:

Eindeutige Lösung Unendlich viele Lösungen Keine Lösung

Prinzip: Systematische Elimination der Variablen durch Äquivalenzumformungen bis zur Stufenform.

Schnelle Beispiele
x + y = 3
2x - y = 0:
→ x = 1, y = 2
x + y = 1
2x + 2y = 2:
→ Unendlich viele Lösungen
x + y = 1
x + y = 2:
→ Keine Lösung (Widerspruch)
Verwandte Verfahren

→ Cramersche Regel
→ Matrixrechnung
→ Determinanten


Algorithmus des Gauß-Verfahrens

Schritt 1: Eliminationsphase
1. Führende Koeffizienten ≠ 0
2. Elimination unter Diagonale
3. Äquivalenzumformungen
4. Stufenform erreichen
Schritt 2: Rücksubstitution
1. Von unten nach oben
2. Bekannte Werte einsetzen
3. Unbekannte berechnen
4. Lösung ermitteln
Grundform (2×2 System)
\[\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}\]
Erweiterte Matrix
\[\left(\begin{array}{cc|c} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right)\]
Stufenform
\[\left(\begin{array}{cc|c} a_1 & b_1 & c_1 \\ 0 & b_2' & c_2' \end{array}\right)\]
Rücksubstitution
\[y = \frac{c_2'}{b_2'}, \quad x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1}\]

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: x + 2y = 3 und 4x + 5y = 6

Ausgangssystem:

\[\begin{align} x + 2y &= 3 \quad (I)\\ 4x + 5y &= 6 \quad (II) \end{align}\]

Erweiterte Matrix:

\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)\]

Schritt 1: Elimination von x in Gleichung (II)

Neue Gleichung (II'): (II) - 4·(I)

\[4x + 5y - 4(x + 2y) = 6 - 4(3)\] \[4x + 5y - 4x - 8y = 6 - 12\] \[-3y = -6\]

Stufenform:

\[\begin{align} x + 2y &= 3\\ -3y &= -6 \end{align}\]

Rücksubstitution:

\[y = \frac{-6}{-3} = 2\] \[x = 3 - 2y = 3 - 4 = -1\]

Lösung: x = -1, y = 2
Probe: (-1) + 2(2) = 3 ✓ und 4(-1) + 5(2) = 6 ✓

Elementare Zeilenoperationen

Erlaubte Operationen (Äquivalenzumformungen)
Vertauschung

Vertauschen zweier Zeilen

\[Z_i \leftrightarrow Z_j\]

Ändert Lösungsmenge nicht

Multiplikation

Zeile mit Konstante ≠ 0 multiplizieren

\[Z_i \rightarrow k \cdot Z_i\]

k ≠ 0 erforderlich

Addition

Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren

\[Z_i \rightarrow Z_i + k \cdot Z_j\]

Eliminationsschritt

Spezielle Fälle

Eindeutige Lösung

Bedingung:

\[\det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \neq 0\]

Genau ein Schnittpunkt der Geraden

Unendlich viele Lösungen

Bedingung:

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\]

Identische Geraden

Keine Lösung

Bedingung:

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\]

Parallele Geraden

Praktische Anwendungen

Ingenieurswesen
  • Statische Berechnungen
  • Elektrische Netzwerke
  • Materialspannungen
  • Optimierungsprobleme
Wirtschaft
  • Produktionsplanung
  • Kostenoptimierung
  • Marktgleichgewicht
  • Input-Output-Modelle
Naturwissenschaften
  • Chemische Reaktionsgleichungen
  • Physikalische Modelle
  • Populationsdynamik
  • Signalverarbeitung

Historischer Kontext

Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
  • "Princeps mathematicorum" - Fürst der Mathematik
  • Systematisierung der Eliminationsmethode
  • Anwendung in der Geodäsie und Astronomie
  • Grundlage für moderne Computermethoden
Mathematische Bedeutung
  • Fundament der linearen Algebra
  • Basis für LU-Zerlegung
  • Numerische Verfahren in der Informatik
  • Komplexitätsanalyse O(n³)
Zusammenfassung

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein fundamentaler Algorithmus der linearen Algebra, der durch systematische Äquivalenzumformungen lineare Gleichungssysteme löst. Es bildet die Grundlage für viele moderne numerische Verfahren und findet breite Anwendung in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft.




Mathematischen Gleichungen

Assoziativgesetz  •  Lineare Gleichung  •  Quadratische Gleichung  •  Kubische Gleichung  •  Diskriminante  •  Gauss-Verfahren  •