Quadratische Gleichungen

Rechner zur Lösung quadratischer Gleichungen mit der Mitternachtsformel - das Herzstück der Algebra

Quadratische Gleichung Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion löst quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel. Quadratische Gleichungen sind Grad 2 Polynome und beschreiben Parabeln.

Koeffizienten der quadratischen Gleichung
ax² + bx + c = 0
a ≠ 0 erforderlich
Linearer Term
Absolutes Glied
Lösungen der quadratischen Gleichung
Lösung x₁
Lösung x₂
Quadratische Gleichungen haben 0, 1 oder 2 reelle Lösungen

Quadratische Gleichungen Info

Eigenschaften

Quadratische Gleichungen:

  • Grad 2 Polynom
  • Höchstens 2 reelle Lösungen
  • Graphisch: Parabel
  • Mitternachtsformel anwendbar

Diskriminante: Der Ausdruck b² - 4ac bestimmt die Anzahl der reellen Lösungen.

Lösungstypen
D > 0: Zwei reelle Lösungen D = 0: Eine reelle Lösung D < 0: Zwei komplexe Lösungen
Beispiele
x² - 4 = 0:
x₁ = 2, x₂ = -2
x² - 2x + 1 = 0:
x = 1 (doppelte Lösung)
x² + 1 = 0:
Komplexe Lösungen: ±i
Verwandte Themen

→ Diskriminante
→ Scheitelpunktform
→ Nullstellen

Mitternachtsformel und Varianten

Standardform
\[ax^2 + bx + c = 0\] Quadratische Gleichung
Mitternachtsformel
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Allgemeine Lösung
Einzellösungen
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Diskriminante
\[D = b^2 - 4ac\] Bestimmt Lösungstyp
Scheitelpunktform
\[f(x) = a(x - h)^2 + k\] Scheitelpunkt: (h, k)
Faktorisierte Form
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\] Mit Nullstellen x₁, x₂
Vieta'sche Formeln
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Scheitelpunkt
\[S = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)\] Parabelbscheitelpunkt

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: -2x² + 3x + 5 = 0

Gegeben:

  • a = -2, b = 3, c = 5

Schritt 1 - Diskriminante berechnen:

\[D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-2)(5) = 9 + 40 = 49\]

Schritt 2 - Mitternachtsformel anwenden

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm 7}{-4}\]

Schritt 3a - Erste Lösung:

\[x_1 = \frac{-3 + 7}{-4} = \frac{4}{-4} = -1\]

Schritt 3b - Zweite Lösung:

\[x_2 = \frac{-3 - 7}{-4} = \frac{-10}{-4} = 2.5\]

Lösungen: x₁ = -1, x₂ = 2.5

Probe: -2(-1)² + 3(-1) + 5 = -2 - 3 + 5 = 0 ✓

Alternative Lösungsmethoden

Verschiedene Ansätze zur Lösung quadratischer Gleichungen
Quadratische Ergänzung

Umformung zur Scheitelpunktform

\[x^2 + px + q = 0\] \[\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \frac{p^2}{4} - q\]
Faktorisierung

Zerlegung in Linearfaktoren

\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]
p-q-Formel

Für normierte Form x² + px + q = 0

\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}\]
Graphische Lösung

Nullstellen der Parabel ablesen

Schnittpunkte mit x-Achse

Geometrische Interpretation

Parabeln und ihre Eigenschaften
D > 0: Zwei Nullstellen

Parabel schneidet x-Achse zweimal

D = 0: Eine Nullstelle

Parabel berührt x-Achse

D < 0: Keine reellen Nullstellen

Parabel über x-Achse

Parabeleigenschaften

Öffnung:

  • a > 0: Parabel öffnet nach oben
  • a < 0: Parabel öffnet nach unten
  • |a| groß: schmale Parabel
  • |a| klein: breite Parabel

Spezielle Punkte:

  • Scheitelpunkt: (-b/2a, -D/4a)
  • y-Achsenabschnitt: (0, c)
  • Symmetrieachse: x = -b/2a
  • Nullstellen: Mitternachtsformel

Praktische Anwendungen

Physik
  • Wurfparabeln
  • Freier Fall
  • Schwingungen
  • Optische Geräte
Wirtschaft
  • Gewinnfunktionen
  • Kostenoptimierung
  • Nachfragekurven
  • Break-Even-Analyse
Technik
  • Brückenkonstruktion
  • Antennentechnik
  • Computergrafik
  • Regelungstechnik

Historischer Kontext

Entwicklung der Lösungsformeln
  • Babylonier (~2000 v.Chr.): Geometrische Methoden
  • Al-Khwarizmi (~830): Systematische Algebra
  • Bombelli (1572): Komplexe Zahlen
  • Mitternachtsformel: Moderne Standardform
Moderne Bedeutung
  • Optimierung: Extremwertprobleme
  • Modellierung: Parabolische Prozesse
  • Computer: Numerische Verfahren
  • KI/ML: Verlustfunktionen
Zusammenfassung

Quadratische Gleichungen und die Mitternachtsformel sind zentrale Konzepte der Algebra mit enormer praktischer Bedeutung. Von der antiken Geometrie bis zu modernen Anwendungen in KI und Technik bilden sie eine Brücke zwischen theoretischer Mathematik und realen Problemlösungen.

Mathematischen Gleichungen

Assoziativgesetz  •  Lineare Gleichung  •  Quadratische Gleichung  •  Kubische Gleichung  •  Diskriminante  •  Gauss-Verfahren  •