Kubische Gleichungen

Rechner zur Bestimmung aller drei Wurzeln kubischer Gleichungen mit der Cardano-Formel

Kubische Gleichung Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion löst kubische Gleichungen der Form ax³ + bx² + cx + d = 0 mit der Cardano-Formel und liefert alle drei Wurzeln (reell oder komplex).

Koeffizienten der kubischen Gleichung
ax³ + bx² + cx + d = 0
a ≠ 0 erforderlich
Quadratischer Term
Linearer Term
Absolutes Glied
Drei Wurzeln der kubischen Gleichung
Wurzel x₁
Wurzel x₂
Wurzel x₃
Kubische Gleichungen haben immer mindestens eine reelle Wurzel

Kubische Gleichungen Info

Eigenschaften

Kubische Gleichungen:

  • Grad 3 Polynom
  • Immer mindestens 1 reelle Wurzel
  • Maximal 3 reelle Wurzeln
  • Lösbar mit Cardano-Formel

Cardano-Formel: Geschlossene Lösung für kubische Gleichungen, entwickelt im 16. Jahrhundert.

Wurzeltypen
3 reelle Wurzeln 1 reelle + 2 komplexe
Beispiele
x³ - 1 = 0:
x₁ = 1, x₂,₃ = komplexe Einheitswurzeln
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0:
x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3
Verwandte Themen

→ Quadratische Gleichungen
→ Polynomrechnung
→ Komplexe Zahlen

Cardano-Formel für kubische Gleichungen

Standardform
\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\] Kubische Gleichung
Reduzierte Form
\[t^3 + pt + q = 0\] Nach Substitution x = t - b/(3a)
Cardano-Lösung
\[x_1 = S + T - \frac{b}{3a}\] Reelle Hauptwurzel
Komplexe Wurzeln
\[x_{2,3} = -\frac{S+T}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}(S-T) - \frac{b}{3a}\] Komplex konjugiert
Hilfsgrößen S und T
\[S = \sqrt[3]{R + \sqrt{Q^3 + R^2}}\] \[T = \sqrt[3]{R - \sqrt{Q^3 + R^2}}\]
Parameter Q und R
\[Q = \frac{3ac - b^2}{9a^2}\] \[R = \frac{9abc - 27a^2d - 2b^3}{54a^3}\]
Diskriminante
\[\Delta = Q^3 + R^2\] Bestimmt Wurzeltyp
Vieta'sche Formeln
\[x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\] \[x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}\]

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: -2x³ + 3x² + 5x + 8 = 0

Gegeben:

  • a = -2, b = 3, c = 5, d = 8

Schritt 1 - Parameter berechnen:

\[Q = \frac{3(-2)(5) - 3^2}{9(-2)^2} = \frac{-39}{36}\] \[R = \frac{9(-2)(3)(5) - 27(-2)^2(8) - 2(3)^3}{54(-2)^3}\]

Schritt 2 - Diskriminante:

\[\Delta = Q^3 + R^2\]

Δ > 0: Eine reelle, zwei komplexe Wurzeln
Δ = 0: Drei reelle Wurzeln (mindestens eine doppelt)
Δ < 0: Drei verschiedene reelle Wurzeln

Schritt 3 - S und T berechnen:

\[S = \sqrt[3]{R + \sqrt{\Delta}}\] \[T = \sqrt[3]{R - \sqrt{\Delta}}\]

Schritt 4 - Wurzeln bestimmen:

\[x_1 = S + T - \frac{b}{3a}\] \[x_{2,3} = \text{komplex}\]

Die Cardano-Formel liefert alle drei Wurzeln systematisch

Geometrische Interpretation

Kubische Kurve und x-Achsen-Schnittpunkte
3 reelle Wurzeln

Kubik schneidet x-Achse dreimal

1 reelle Wurzel

Eine reelle, zwei komplexe Wurzeln

Doppelte Wurzel

Berührung und Schnittpunkt

Diskriminanten-Analyse

Δ < 0 (Casus irreducibilis)
  • 3 verschiedene reelle Wurzeln
  • Trigonometrische Darstellung nötig
  • Keine geschlossene Radikalform
  • Geometrisch: 3 Schnittpunkte
Δ = 0
  • Mindestens eine doppelte Wurzel
  • 2 oder 3 reelle Wurzeln
  • Berührung der x-Achse
  • Spezialfall der Cardano-Formel
Δ > 0
  • 1 reelle, 2 komplexe Wurzeln
  • Standardfall der Cardano-Formel
  • Komplexe Wurzeln konjugiert
  • Ein Schnittpunkt mit x-Achse

Praktische Anwendungen

Ingenieurswesen
  • Biegungsprobleme in Balken
  • Stabilitätsanalyse
  • Optimierungsprobleme
  • Materialspannungen
Physik
  • Quantenmechanik
  • Thermodynamik
  • Schwingungsanalyse
  • Wellenfunktionen
Wirtschaft
  • Kostenfunktionen
  • Gewinnmaximierung
  • Marktanalyse
  • Produktionsoptimierung

Historischer Kontext

Gerolamo Cardano (1501-1576)
  • Ars Magna (1545): Erste Veröffentlichung
  • Tartaglia-Formel: Tatsächlicher Entdecker
  • Renaissance-Mathematik: Durchbruch der Algebra
  • Komplexe Zahlen: Erste Verwendung
Mathematische Bedeutung
  • Galois-Theorie: Lösbarkeit in Radikalen
  • Algebraische Gleichungen: Allgemeine Theorie
  • Komplexe Analysis: Grundsteinlegung
  • Numerische Verfahren: Moderne Algorithmen
Zusammenfassung

Die Cardano-Formel für kubische Gleichungen war ein Meilenstein der Renaissance-Mathematik. Sie führte zur Entwicklung komplexer Zahlen und bildete die Grundlage für die moderne Algebra. Trotz ihrer Komplexität bleibt sie ein fundamentales Werkzeug der Mathematik mit breiten Anwendungen in Wissenschaft und Technik.

Mathematischen Gleichungen

Assoziativgesetz  •  Lineare Gleichung  •  Quadratische Gleichung  •  Kubische Gleichung  •  Diskriminante  •  Gauss-Verfahren  •