Harmonisches Mittel berechnen

Online Rechner zur Berechnung des harmonischen Mittels einer Datenreihe

Harmonisches Mittel Rechner

Das harmonische Mittel

Das harmonische Mittel ist das Mittel der Kehrwerte von n positiven Zahlen. Es ist besonders geeignet für Geschwindigkeiten und Raten.

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Positive Datenwerte (durch Leerzeichen oder Semikolon getrennt)
Resultat
Harmonisches Mittel:
Eigenschaften des harmonischen Mittels

Wichtig: x̄harm ≤ x̄geom ≤ x̄arithm (kleinstes der drei Mittel). Nur für positive Zahlen definiert.

Kehrwertbasiert Für Geschwindigkeiten Nur positive Werte

Harmonisches Mittel Konzept

Das harmonische Mittel ist n geteilt durch die Summe der Kehrwerte.
Ideal für Durchschnittsgeschwindigkeiten und Raten.

Kehrwerte → Summe → Division 2 3 4 5 6 1/x 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 + + + + Summe 1.45 n/Σ 3.45

■ Eingabewerte ■ Kehrwerte ■ Harmonisches Mittel

Was ist das harmonische Mittel?

Das harmonische Mittel ist ein spezielles Lagemaß mit wichtigen Anwendungen:

  • Definition: n geteilt durch die Summe der Kehrwerte
  • Berechnung: H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/xₙ)
  • Voraussetzung: Alle Werte müssen positiv sein (> 0)
  • Eigenschaft: Kleinstes der drei Mittel (≤ geometrisch ≤ arithmetisch)
  • Anwendung: Ideal für Durchschnittsgeschwindigkeiten und Raten
  • Vorteil: Korrekt bei konstantem Zähler (z.B. gleiche Strecke)

Berechnung des harmonischen Mittels

Die Berechnung erfolgt in vier Schritten:

1. Kehrwerte

Bilde Kehrwerte:
1/x₁, 1/x₂, ..., 1/xₙ

2. Summieren

Addiere Kehrwerte:
S = Σ(1/xᵢ)

3. Anzahl

Bestimme Anzahl:
n = Anzahl Werte

4. Dividieren

Teile n durch S:
H = n / S

Anwendungen des harmonischen Mittels

Das harmonische Mittel ist besonders wichtig für:

Transport und Geschwindigkeit
  • Durchschnittsgeschwindigkeit bei gleicher Strecke
  • Kraftstoffverbrauch (Liter pro km)
  • Reisezeit-Berechnungen
  • Verkehrsfluss-Analyse
Wirtschaft und Finanzen
  • Kurs-Gewinn-Verhältnis (P/E Ratio)
  • Durchschnittliche Kosten pro Einheit
  • Preis-Indizes bei Mengengewichtung
  • Produktivitätskennzahlen

Formeln zum harmonischen Mittel

Harmonisches Mittel
\[H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\]

n geteilt durch die Summe der Kehrwerte

Ausgeschriebene Form
\[H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}\]

Explizite Darstellung mit Brüchen

Alternative Form
\[H = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}\]

Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte

Für zwei Werte
\[H = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2x_1x_2}{x_1+x_2}\]

Vereinfachte Form für zwei Werte

Symbolerklärungen
\(H\) Harmonisches Mittel
\(x_i\) Einzelner Datenwert
\(n\) Anzahl der Werte
\(\sum\) Summenzeichen
\(\frac{1}{x_i}\) Kehrwert von xᵢ
\(\overline{x}\) Arithmetisches Mittel

Beispielrechnungen für das harmonische Mittel

Beispiel 1: Grundlegende Berechnung
Daten: 2, 3, 4, 5, 6

Berechne: Harmonisches Mittel der 5 Werte

1. Kehrwerte bilden
\[\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}\]

Reziproke aller Werte

2. Kehrwerte summieren
\[S = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\] \[\approx \color{blue}{1.45}\]

Summe der Kehrwerte

3. Harmonisches Mittel
\[H = \frac{5}{1.45}\] \[\approx \color{blue}{3.45}\]

n geteilt durch Summe

Beispiel 2: Durchschnittsgeschwindigkeit
Hinfahrt: 60 km/h, Rückfahrt: 40 km/h (gleiche Strecke)

Berechne: Durchschnittsgeschwindigkeit für Hin- und Rückweg

Richtige Methode (harmonisch)
\[H = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}}\] \[= \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60+40} = \frac{4800}{100}\] \[= \color{blue}{48 \text{ km/h}}\]

Korrekt für gleiche Strecke

Falsche Methode (arithmetisch)
\[\overline{x} = \frac{60 + 40}{2}\] \[= \color{red}{50 \text{ km/h}}\]

Falsch! Bei gleicher Strecke verbringt man mehr Zeit bei 40 km/h.

Erklärung

Beispiel mit 120 km pro Strecke:
Hinfahrt: 120 km / 60 km/h = 2 Stunden
Rückfahrt: 120 km / 40 km/h = 3 Stunden
Gesamt: 240 km in 5 Stunden = 48 km/h ✓
Das harmonische Mittel ist hier korrekt, nicht das arithmetische!

Beispiel 3: Vergleich der drei Mittelwerte
Daten: 1, 2, 4
Harmonisches Mittel
\[H = \frac{3}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\] \[= \frac{3}{1.75} \approx \color{blue}{1.71}\]

Kleinstes Mittel

Geometrisches Mittel
\[\overline{x}_{geom} = \sqrt[3]{1 \cdot 2 \cdot 4}\] \[= \sqrt[3]{8} = \color{blue}{2.0}\]

Mittleres Mittel

Arithmetisches Mittel
\[\overline{x} = \frac{1+2+4}{3}\] \[= \frac{7}{3} \approx \color{blue}{2.33}\]

Größtes Mittel

Wichtige Ungleichung

H ≤ G ≤ A: Das harmonische Mittel (1.71) ist immer das kleinste, dann folgt das geometrische (2.0), und das arithmetische (2.33) ist das größte.
Gleichheit gilt nur, wenn alle Werte identisch sind.
Unterschied wird größer bei stärkerer Streuung der Werte.

Mathematische Grundlagen des harmonischen Mittels

Das harmonische Mittel ist ein wichtiges Lagemaß mit speziellen Eigenschaften, das vor allem bei Verhältniszahlen und Raten zum Einsatz kommt.

Eigenschaften des harmonischen Mittels

Das harmonische Mittel besitzt charakteristische mathematische Eigenschaften:

  • Ungleichung: H ≤ G ≤ A (harmonisch ≤ geometrisch ≤ arithmetisch)
  • Nur positive Werte: Definiert nur für xᵢ > 0
  • Kehrwertbasiert: H = 1 / (arithmetisches Mittel der Kehrwerte)
  • Gewichtung: Kleinere Werte erhalten mehr Gewicht als größere
  • Extreme Empfindlichkeit: Sehr empfindlich gegenüber kleinen Werten

Wann harmonisches Mittel verwenden?

Harmonisches Mittel ist richtig
  • Geschwindigkeiten: Bei gleicher Strecke
  • Raten: Einheit/Zeit bei gleichen Einheiten
  • Verhältniszahlen: Z.B. Kosten pro Einheit
  • Kehrwerte: Wenn Kehrwerte addiert werden sollen
  • Widerstandsrechnung: Parallelschaltung
Andere Mittel verwenden
  • Arithmetisch: Bei gleicher Zeit (statt Strecke)
  • Geometrisch: Bei Wachstumsraten und multiplikativen Prozessen
  • Median: Bei schiefen Verteilungen mit Ausreißern
  • Gewichtete Mittel: Bei unterschiedlicher Wichtigkeit

Praktisches Beispiel: Durchschnittsgeschwindigkeit

Szenario:

Ein Auto fährt 100 km mit 50 km/h, dann 100 km mit 100 km/h.
Frage: Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?

Häufiger Fehler (arithmetisch):

(50 + 100) / 2 = 75 km/h
Falsch! Die Zeit ist nicht gleich verteilt.

Richtige Lösung (harmonisch):

H = 2 / (1/50 + 1/100) = 2 / 0.03 = 66.67 km/h
Verifikation:
Zeit 1: 100 km / 50 km/h = 2 h
Zeit 2: 100 km / 100 km/h = 1 h
Gesamt: 200 km / 3 h = 66.67 km/h ✓

Spezielle Anwendungen

Physik und Technik
  • Parallelschaltung: Gesamtwiderstand R = n/(1/R₁ + ... + 1/Rₙ)
  • Linsen: Brennweite bei kombinierten Linsen
  • Kapazitäten: Serienschaltung von Kondensatoren
  • Strömungen: Durchflussraten
Wirtschaft
  • F-Score: Harmonisches Mittel von Precision und Recall
  • Preisindizes: Bei Mengengewichtung
  • Durchschnittskosten: Kosten pro Einheit
  • Produktivität: Output-Raten

Beziehung zu anderen Mittelwerten

Harmonisches Mittel

H = n / Σ(1/xᵢ)
Kleinstes Mittel
Für Raten

Geometrisches Mittel

G = ⁿ√(Πxᵢ)
Mittleres Mittel
Für Wachstum

Arithmetisches Mittel

A = Σxᵢ / n
Größtes Mittel
Für Summen

Zusammenfassung

Das harmonische Mittel ist das richtige Lagemaß für Durchschnitte von Raten und Verhältnissen, insbesondere bei Geschwindigkeiten mit gleicher Strecke. Es ist das kleinste der drei klassischen Mittelwerte (H ≤ G ≤ A) und gibt kleineren Werten mehr Gewicht. Die häufigste Fehlerquelle ist die Verwendung des arithmetischen Mittels für Geschwindigkeiten – das führt zu falschen Ergebnissen, wenn die Zeiten unterschiedlich sind. Das harmonische Mittel findet auch wichtige Anwendungen in der Physik (Parallelschaltungen) und im Machine Learning (F-Score).

Wahrscheinlichkeiten

Geburtstagsparadoxon • Satz von Bayes • Zentraler Grenzwertsatz

Statistik Funktionen

Arithmetisches Mittel (Durchschnitt) • Empirische Inverse Verteilungsfunktion • Empirische Verteilungsfunktion • Five-Number Summary • Empirische inverse Verteilungsfunktion CDF • Geometrisches Mittel • Gepoolte Standardabweichung • Gepoolte Varianz • Harmonisches Mittel • Kontraharmonisches Mittel • Kovarianz • Kurtosis (Wölbung) • Log-Geometrisches Mittel • Median • Modus • Oberes Quartil • Skewness (Statistische Schiefe) • Standardabweichung • Unteres Quartil • Varianz

Statistik Distanz Funktionen

Dice Index • Hellingerabstand • Jaccard Index • Mittlerer Absoluter Fehler • Mittlerer Quadratischer Fehler • Summe der Absoluten Differenz • Summe der Abweichungsquadrate

Kombinatorik Funktionen

Kombinationen ohne Wiederholung • Kombinationen mit Wiederholung • Permutationen ohne Wiederholung • Produktregel • Variationen ohne Wiederholung • Variationen mit Wiederholung • Aktivitäten Auswahl Problem