Euklidischer Abstand

Rechner zur Berechnung der L₂-Norm (Luftlinie) mit ausführlichen Formeln und Beispielen

Euklidischer Abstand Rechner

Was wird berechnet?

Der Euklidische Abstand ist die kürzeste Verbindung (Luftlinie) zwischen zwei Punkten. Er entspricht der L₂-Norm der Differenz und basiert auf dem Satz des Pythagoras.

Eingabepunkte/Vektoren

Koordinaten durch Leerzeichen getrennt

Gleiche Anzahl Koordinaten wie X

Ergebnis
Euklidischer Abstand (L₂):
Kürzeste Verbindung zwischen den Punkten (Luftlinie)

Euklidisch Info

Eigenschaften

Euklidischer Abstand:

  • Auch L₂-Norm genannt
  • Kürzeste Verbindung zwischen Punkten
  • Basiert auf dem Satz des Pythagoras
  • Entspricht der "Luftlinie"

Intuition: Die Distanz, die man mit einem Lineal zwischen zwei Punkten messen würde.

Dimensionen
1D (Zahlenstrahl):
|x₁ - x₂| = √((x₁-x₂)²)
2D (Ebene):
√((x₁-x₂)² + (y₁-y₂)²)
3D (Raum):
√((x₁-x₂)² + (y₁-y₂)² + (z₁-z₂)²)
Verwandte Normen

→ Manhattan Distanz (L₁)
→ Chebyshev Distanz (L∞)
→ Minkowski Distanz (Lₚ)

Formeln des Euklidischen Abstands

Grundformel (L₂-Norm)
\[d_2(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}\] Standard Euklidische Distanz
Quadrierte Distanz
\[d_2^2(x,y) = \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2\] Ohne Quadratwurzel (effizienter)
2D-Formel (Ebene)
\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\] Klassischer Pythagoras
3D-Formel (Raum)
\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\] Erweiterter Pythagoras
Vektornorm
\[d_2(x,y) = \|x-y\|_2\] L₂-Norm der Differenz
Skalarprodukt
\[d_2(x,y) = \sqrt{(x-y) \cdot (x-y)}\] Mit Skalarprodukt

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: Euklidischer Abstand([3,4,5], [2,3,6]) berechnen

Gegeben:

  • Punkt A = [3, 4, 5]
  • Punkt B = [2, 3, 6]

Schritt 1 - Differenzen:

  • Δx = 3 - 2 = 1
  • Δy = 4 - 3 = 1
  • Δz = 5 - 6 = -1

Schritt 2 - Quadrierung:

\[1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3\]

Schritt 3 - Quadratwurzel:

\[d = \sqrt{3} \approx 1.732\]

Interpretation: Die Luftlinie zwischen den beiden 3D-Punkten beträgt √3 ≈ 1.732 Einheiten.

Satz des Pythagoras

Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck (2D)

Problem:

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten der Längen a = 3 und b = 4. Wie lang ist die Hypotenuse c?

Als Distanzproblem:

Punkt A = (0, 0)
Punkt B = (3, 4)
Gesucht: Euklidischer Abstand

Berechnung:

\[c = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Ergebnis: Die Hypotenuse hat die Länge 5 (klassisches 3-4-5 Dreieck).

Effizienz: Distanz vs. Quadrierte Distanz

Wann quadrierte Distanz verwenden?

Normale Distanz:

\[d = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}\]

Für tatsächliche Entfernungsmessung

Quadrierte Distanz:

\[d^2 = \sum (x_i - y_i)^2\]

Für Vergleiche (schneller)

Anwendungsfälle für quadrierte Distanz:
  • k-NN Algorithmus: Nur Reihenfolge wichtig, nicht exakte Werte
  • Clustering: Vergleich von Distanzen reicht aus
  • Optimierung: Minimierung von d² entspricht Minimierung von d
  • Performance: Vermeidung der teuren Quadratwurzel-Operation

Praktische Anwendungen

Geographie & Navigation
  • GPS-Entfernungsberechnung
  • Luftlinien-Distanzen
  • Kartographie
  • Routenplanung
Machine Learning
  • k-Nearest Neighbors (k-NN)
  • Clustering-Algorithmen
  • Feature-Space Distanzen
  • Dimensionsreduktion
Physik & Ingenieurwesen
  • Kraftvektoren
  • Schwerpunkt-Berechnungen
  • Stress-/Dehnungsanalyse
  • Schwingungsanalyse

Mathematische Eigenschaften

Norm-Eigenschaften
  • Positivität: ‖x‖₂ ≥ 0, ‖x‖₂ = 0 ⟺ x = 0
  • Homogenität: ‖αx‖₂ = |α|‖x‖₂
  • Dreiecksungleichung: ‖x+y‖₂ ≤ ‖x‖₂ + ‖y‖₂
  • Parallelogramm-Gesetz: 2(‖x‖² + ‖y‖²) = ‖x+y‖² + ‖x-y‖²
Geometrische Eigenschaften
  • Einheitskugel: Kreis (2D) bzw. Kugel (3D)
  • Rotationsinvariant: Invariant unter Drehungen
  • Translationsinvariant: d(x+c, y+c) = d(x,y)
  • Strikt konvex: Einheitskugel ist strikt konvex
Beziehungen zu anderen Normen

Zu L₁-Norm:
‖x‖₂ ≤ ‖x‖₁ ≤ √n ‖x‖₂

Zu L∞-Norm:
‖x‖∞ ≤ ‖x‖₂ ≤ √n ‖x‖∞

Vergleich der Lₚ-Normen

Für die Punkte [0,0] und [3,4]
L₁ (Manhattan)
7.000

|3| + |4| = 7

L₂ (Euklidisch)
5.000

√(3² + 4²) = 5

L₃ (Minkowski)
4.498

(3³ + 4³)^(1/3)

L∞ (Chebyshev)
4.000

max(3, 4) = 4

Beobachtung: Die euklidische Distanz liegt zwischen der Manhattan- und der Chebyshev-Distanz und entspricht dem klassischen 3-4-5 Dreieck.

Distanz Funktionen

Bray Curtis Distanz  •  Canberra Distanz  •  Euklidischer Abstand  •  Korrelationskoeffizient  •  Kosinus Ähnlichkeit  •  Levenshtein Distanz  •  Manhattan Distanz  •  Minkowski Distanz  •  Maximumsnorm  •