Chebyshev Distanz (Maximumsnorm)

Rechner zur Berechnung der L∞-Norm mit ausführlichen Formeln und Beispielen

Chebyshev Distanz Rechner

Was wird berechnet?

Die Chebyshev Distanz (auch Maximumsnorm oder L∞-Norm genannt) ist das Maximum der absoluten Differenzen aller Komponenten zweier Vektoren.

Eingabevektoren

Werte durch Leerzeichen getrennt

Gleiche Anzahl Werte wie Vektor X

Ergebnis
Chebyshev Distanz (L∞):
Maximum der absoluten Differenzen aller Komponenten

Chebyshev Info

Eigenschaften

Chebyshev Distanz:

  • Auch L∞-Norm genannt
  • Maximum aller Komponenten-Differenzen
  • Grenzfall der Minkowski-Distanz (p→∞)
  • Definiert "Schachbrett-Distanz"

Schachbrett: Entspricht der Anzahl Züge, die ein König benötigt, um von einem Feld zu einem anderen zu gelangen.

Spezielle Fälle
2D-Raum:
Schachbrett-Distanz zwischen Feldern
Einheitsquadrat:
Abstand vom Zentrum zu den Ecken
Maximum-Komponente:
Bestimmt die gesamte Distanz
Verwandte Normen

→ Manhattan Distanz (L₁)
→ Euklidische Distanz (L₂)
→ Minkowski Distanz (Lₚ)

Formeln der Chebyshev Distanz

Grunddefinition
\[d_\infty(x,y) = \max_{i} |x_i - y_i|\] Maximum der Komponenten-Differenzen
Als Grenzwert
\[d_\infty(x,y) = \lim_{p \to \infty} \left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}\] Grenzfall der Minkowski-Distanz
Norm-Eigenschaft
\[\|x\|_\infty = \max_{i} |x_i|\] Maximumsnorm eines Vektors
Matrixnorm
\[\|A\|_\infty = \max_{i} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|\] Maximale Zeilensumme
2D-Schachbrett
\[d_\infty((x_1,y_1), (x_2,y_2)) = \max(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|)\] Schachbrett-Distanz
Symmetrie
\[d_\infty(x,y) = d_\infty(y,x)\] Symmetrische Eigenschaft

Detailliertes Rechenbeispiel

Beispiel: Chebyshev([0,3,4,5], [7,6,3,-1]) berechnen

Gegeben:

  • x = [0, 3, 4, 5]
  • y = [7, 6, 3, -1]

Schritt 1 - Differenzen:

  • |0 - 7| = 7
  • |3 - 6| = 3
  • |4 - 3| = 1
  • |5 - (-1)| = 6

Schritt 2 - Maximum bestimmen:

\[d_\infty = \max(7, 3, 1, 6) = 7\]

Interpretation: Die größte Differenz in einer einzigen Komponente bestimmt die gesamte Distanz.

Schachbrett-Beispiel

Beispiel: Königszüge auf dem Schachbrett

Problem:

Ein König steht auf Feld (1,1) und soll zu Feld (4,3) ziehen. Wie viele Züge benötigt er mindestens?

Lösung mit Chebyshev:

\[d_\infty((1,1), (4,3)) = \max(|4-1|, |3-1|)\] \[= \max(3, 2) = 3\]

Zugfolge (eine Möglichkeit):

(1,1) → (2,2) → (3,3) → (4,3)

Ergebnis: Der König benötigt mindestens 3 Züge.

Vergleich der Lₚ-Normen

Für die Vektoren [1,2,3] und [4,1,1]
L₁ (Manhattan)
6.000

|3|+|1|+|2| = 6

L₂ (Euklidisch)
3.742

√(9+1+4) = √14

L₅ (Minkowski)
3.075

(3⁵+1⁵+2⁵)^(1/5)

L∞ (Chebyshev)
3.000

max(3,1,2) = 3

Beobachtung: Mit steigendem p nähert sich die Lₚ-Norm der Chebyshev-Distanz an.

Praktische Anwendungen

Spieltheorie
  • Schachbrett-Navigation
  • Raster-basierte Spiele
  • Pathfinding-Algorithmen
  • Strategische Bewegung
Robotik
  • Bewegungsplanung
  • Kollisionsvermeidung
  • Raster-Navigation
  • Lageregelung
Numerik
  • Fehleranalyse
  • Konvergenzkriterien
  • Stabilität von Algorithmen
  • Optimierung

Mathematische Eigenschaften

Norm-Eigenschaften
  • Positivität: ‖x‖∞ ≥ 0, ‖x‖∞ = 0 ⟺ x = 0
  • Homogenität: ‖αx‖∞ = |α|‖x‖∞
  • Dreiecksungleichung: ‖x+y‖∞ ≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞
  • Äquivalenz: Zu allen anderen Normen äquivalent
Geometrische Eigenschaften
  • Einheitskugel: Hyperwürfel (Würfel in nD)
  • Konvex: Einheitskugel ist konvex
  • Polytop: Einheitskugel ist Polytop
  • Facetten: 2ⁿ Facetten im n-dimensionalen Raum
Wichtige Beziehungen

Zu anderen Normen:
‖x‖∞ ≤ ‖x‖₂ ≤ √n ‖x‖∞
‖x‖∞ ≤ ‖x‖₁ ≤ n ‖x‖∞

Dualität:
Die Chebyshev-Norm (L∞) ist dual zur L₁-Norm (Manhattan-Distanz)

Geometrische Interpretation

2D-Einheitskugeln der verschiedenen Normen
L₁ (Manhattan)
Diamant/Raute
♦
L₂ (Euklidisch)
Kreis
●
L₅ (Minkowski)
Superellipse
⬟
L∞ (Chebyshev)
Quadrat
■

Interpretation: Die Chebyshev-Norm bildet als Einheitskugel ein Quadrat (2D) bzw. einen Hyperwürfel (nD).

Distanz Funktionen

Bray Curtis Distanz  •  Canberra Distanz  •  Euklidischer Abstand  •  Korrelationskoeffizient  •  Kosinus Ähnlichkeit  •  Levenshtein Distanz  •  Manhattan Distanz  •  Minkowski Distanz  •  Maximumsnorm  •