Vervielfältigungszeit berechnen
Berechnen der Vervielfältigungszeit bei gegebener Wachstumsrate pro Periode
Vervielfältigungszeit Rechner
Exponentielles Wachstum
Berechnet die Zeit (Perioden) oder Wachstumsrate % pro Periode bei gegebenem Vervielfältigungs-Faktor.
Wachstum Visualisierung
Beispiel: Verdopplung bei 5% Wachstum
Berechnungsschritte
1. Formel für Zeitraum:
\[t = \frac{\log(n)}{\log(1+\frac{g}{100})}\]
2. Werte einsetzen:
\[t = \frac{\log(2)}{\log(1+\frac{5}{100})}\]
3. Berechnen:
\[t \approx 14{,}21 \text{ Perioden}\]
Verständnis
- Faktor 2 = Verdopplung des Wertes
- Faktor 3 = Verdreifachung des Wertes
- 5% Wachstum bedeutet: Wert × 1,05 pro Periode
- Exponentieller Verlauf: Immer schneller
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Mathematische Grundlagen des exponentiellen Wachstums
Das exponentielle Wachstum beschreibt Prozesse, bei denen ein Wert um einen konstanten Prozentsatz pro Zeiteinheit zunimmt:
Zeitraum berechnen
t = Perioden, n = Faktor, g = Wachstumsrate in %
Wachstumsrate % berechnen
Benötigtes Wachstum für Faktor n in t Perioden
Formeln und Beispiele
Formelübersicht
Variablen:
\(n\) = Vervielfältigungs-Faktor (z.B. 2 für Verdopplung)
\(t\) = Vervielfältigungszeit in Perioden
\(g\) = Wachstumsrate in % pro Periode
Formeln:
\[t = \frac{\log(n)}{\log(1+\frac{g}{100})}\]
\[g = \left(e^{\frac{\log(n)}{t}}-1\right) \times 100\]
Beispiel 1: Verdopplungszeit berechnen
Aufgabe: Wie lange dauert es bei 5% Wachstum bis sich der Wert verdoppelt?
Gegeben:
• Faktor n = 2 (Verdopplung)
• Wachstum g = 5% pro Periode
Formel:
\[t = \frac{\log(2)}{\log(1+\frac{5}{100})}\]
Berechnung:
\[t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}05)} = \frac{0{,}3010}{0{,}0212} \approx 14{,}21\]
Ergebnis: Nach etwa 14,21 Perioden ist der Wert verdoppelt
Beispiel 2: Wachstumsrate berechnen
Aufgabe: Welche Wachstumsrate ist nötig, um in 10 Perioden zu verdreifachen?
Gegeben:
• Faktor n = 3 (Verdreifachung)
• Perioden t = 10
Formel:
\[g = \left(e^{\frac{\log(3)}{10}}-1\right) \times 100\]
Berechnung:
\[g = \left(e^{\frac{1{,}0986}{10}}-1\right) \times 100 \approx 11{,}61\%\]
Ergebnis: 11,61% Wachstum pro Periode benötigt
Weitere Beispiele
\[t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}1)} \approx 7{,}27\]
≈ 7,27 Perioden
\[g = \left(e^{\frac{\log(5)}{15}}-1\right) \times 100\]
≈ 11,16% Wachstum
Schnellreferenz
Häufige Faktoren
2 = Verdopplung
3 = Verdreifachung
4 = Vervierfachung
10 = Verzehnfachung
100 = Verhundertfachung
Formel-Übersicht
Zeitraum:
\[t = \frac{\log(n)}{\log(1+\frac{g}{100})}\]
Wachstum %:
\[g = \left(e^{\frac{\log(n)}{t}}-1\right) \cdot 100\]
Anwendungen
• Bevölkerungswachstum
• Wirtschaftswachstum
• Bakterienwachstum
• Zinseszins-Rechnung
• Virale Verbreitung
Regel von 72
Näherung für Verdopplung:
\[t \approx \frac{72}{g}\]
Exponentielles Wachstum - Detaillierte Beschreibung
Grundlagen
Das exponentielle Wachstum beschreibt Prozesse, bei denen ein Wert kontinuierlich um einen konstanten Prozentsatz zunimmt. Dies führt zu einem charakteristischen exponentiellen Verlauf mit immer größer werdenden Zuwächsen.
\[N(t) = N_0 \times (1+\frac{g}{100})^t\]
Wobei \(N_0\) der Anfangswert, \(g\) das Wachstum in % und \(t\) die Zeit ist.
Berechnungsmethoden
Der Rechner bietet zwei Berechnungsmodi:
Modi
1. Zeitraum berechnen: Wie lange dauert es bis zum gewünschten Faktor?
2. Wachstum % berechnen: Welches Wachstum ist nötig für den Faktor in der gegebenen Zeit?
Praktische Anwendungen
Exponentielles Wachstum findet sich in vielen natürlichen, wirtschaftlichen und sozialen Prozessen.
• Bevölkerungswachstum
• Bakterienvermehrung
• Zinseszins-Berechnung
• Wirtschaftswachstum (BIP)
• Virale Verbreitung (Pandemien)
Besonderheiten
Wichtige Eigenschaften des exponentiellen Wachstums:
Eigenschaften
- Wächst anfangs langsam, dann immer schneller
- Prozentuale Zunahme ist konstant
- Absolute Zunahme wird immer größer
- Verdopplungszeit ist charakteristisch
- Regel von 72: t ≈ 72/g für Verdopplung
Praktische Rechenbeispiele
Bevölkerung
Situation: 1,5% Wachstum pro Jahr
Frage: Wann verdoppelt?
Berechnung:
\[t = \frac{\log(2)}{\log(1{,}015)} \approx 46{,}56\]
Nach 46,56 Jahren
Bakterien
Situation: Verzehnfachung in 8h
Frage: Wachstum % pro Stunde?
Berechnung:
\[g = \left(e^{\frac{\log(10)}{8}}-1\right) \times 100\]
≈ 32,77% pro Stunde
Kapital
Situation: 3% Zins pro Jahr
Frage: Wann verdreifacht?
Berechnung:
\[t = \frac{\log(3)}{\log(1{,}03)} \approx 37{,}17\]
Nach 37,17 Jahren
Rechen-Tipps
- Faktor: Als ganze Zahl eingeben (2 nicht 0,5)
- Perioden: Können beliebige Zeiteinheiten sein
- Regel von 72: Für schnelle Näherungen
- Probe: Ergebnis durch Rückrechnung prüfen
- Grenzen: Unbegrenztes Wachstum unrealistisch
- Einheiten: Zeiteinheit = Periode konsistent halten
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