Halbwertszeit berechnen
Online Rechner zum berechnen der Halbwertszeit bei gegebener Abnahme pro Periode
Halbwertszeit Rechner
Halbwertszeit Berechnung
Berechnet die Halbwertszeit (Perioden) oder Abnahme % pro Periode, die nötig ist, um einen Wert zu halbieren.
Halbierung Visualisierung
Beispiel: Halbierung bei 5% Abnahme
Berechnungsschritte
1. Formel für Halbwertszeit:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(1-\frac{d}{100})}\]
2. Werte einsetzen:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(1-\frac{5}{100})}\]
3. Berechnen:
\[t = \frac{-0{,}3010}{\log(0{,}95)} \approx 13{,}86\]
Ergebnis: 13,86 Perioden
Verständnis
- Halbwertszeit = Zeit bis zur Halbierung
- 5% Abnahme bedeutet: Wert × 0,95 pro Periode
- Nach 2× Halbwertszeit: 25% übrig
- Exponentieller Zerfall: Immer langsamer
Mathematische Grundlagen der Halbwertszeit
Die Halbwertszeit ist die Zeit, die vergeht, bis ein Wert auf die Hälfte gesunken ist:
Halbwertszeit berechnen
t = Halbwertszeit, d = Abnahme in % pro Periode
Abnahme % berechnen
Benötigte Abnahme für Halbierung in t Perioden
Formeln und Beispiele
Formelübersicht
Variablen:
\(t\) = Halbwertszeit in Perioden
\(d\) = Abnahme in % pro Periode
Formeln:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(1-\frac{d}{100})}\]
\[d = -\left(e^{\frac{\log(0{,}5)}{t}}-1\right) \times 100\]
Beispiel 1: Halbwertszeit berechnen
Aufgabe: Wie lange dauert es bei 5% Abnahme pro Periode bis zur Halbierung?
Gegeben:
• Abnahme d = 5% pro Periode
Formel:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(1-\frac{5}{100})}\]
Berechnung:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}95)} = \frac{-0{,}3010}{-0{,}0223} \approx 13{,}86\]
Ergebnis: Nach etwa 13,86 Perioden ist der Wert halbiert
Beispiel 2: Abnahme % berechnen
Aufgabe: Welche Abnahme % ist nötig für Halbierung in 10 Perioden?
Gegeben:
• Halbwertszeit t = 10 Perioden
Formel:
\[d = -\left(e^{\frac{\log(0{,}5)}{10}}-1\right) \times 100\]
Berechnung:
\[d = -\left(e^{\frac{-0{,}6931}{10}}-1\right) \times 100 \approx 6{,}70\%\]
Ergebnis: 6,70% Abnahme pro Periode benötigt
Weitere Beispiele
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)} \approx 6{,}58\]
Halbwertszeit: 6,58 Perioden
\[d = -\left(e^{\frac{\log(0{,}5)}{20}}-1\right) \times 100\]
≈ 3,44% Abnahme
Mehrfache Halbwertszeiten
Nach verschiedenen Halbwertszeiten:
• Nach 1× HWZ: 50% übrig
• Nach 2× HWZ: 25% übrig
• Nach 3× HWZ: 12,5% übrig
• Nach 4× HWZ: 6,25% übrig
• Nach 5× HWZ: 3,125% übrig
• Nach n× HWZ: \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\)
Schnellreferenz
Standard-Beispiel
Formel-Übersicht
Halbwertszeit:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(1-\frac{d}{100})}\]
Abnahme %:
\[d = -\left(e^{\frac{\log(0{,}5)}{t}}-1\right) \cdot 100\]
Anwendungen
• Radioaktiver Zerfall
• Medikamentenabbau
• Kondensatorentladung
• Kühlungsprozesse
• Chemische Reaktionen
Merkrege: Regel von 70
Näherung für Halbwertszeit:
\[t \approx \frac{70}{d}\]
Bei kleinen Abnahmeraten (< 10%)
Halbwertszeit - Detaillierte Beschreibung
Grundlagen
Die Halbwertszeit ist ein fundamentales Konzept in Physik, Chemie und Biologie. Sie beschreibt die Zeit, nach der ein Wert auf die Hälfte gesunken ist.
\[N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{1/2}}}\]
Wobei \(N_0\) der Anfangswert und \(t_{1/2}\) die Halbwertszeit ist.
Berechnungsmethoden
Der Rechner bietet zwei Berechnungsmodi:
Modi
1. Halbwertszeit berechnen: Wie lange bis zur Halbierung bei gegebener Abnahme?
2. Abnahme % berechnen: Welche Abnahme ist nötig für Halbierung in der gegebenen Zeit?
Praktische Anwendungen
Die Halbwertszeit findet sich in vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen.
• Radioaktiver Zerfall (C-14, Uran)
• Medikamentenabbau im Körper
• Kondensatorentladung
• Kühlungsprozesse (Newton)
• Chemische Reaktionen erster Ordnung
Besonderheiten
Wichtige Eigenschaften der Halbwertszeit:
Eigenschaften
- Unabhängig vom Anfangswert
- Charakteristisch für den Prozess
- Nach jeder HWZ halbiert sich der Rest
- Exponentieller Zerfall
- Regel von 70: t ≈ 70/d (für kleine d)
Praktische Rechenbeispiele
Radioaktivität
Beispiel: C-14 Zerfall 0,0121% pro Jahr
Berechnung:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}999879)}\]
HWZ: ≈ 5.730 Jahre
Medikament
Beispiel: Halbwertszeit 4 Stunden
Frage: Abbau % pro Stunde?
\[d = -\left(e^{\frac{\log(0{,}5)}{4}}-1\right) \times 100\]
≈ 15,91% pro Stunde
Kondensator
Beispiel: 2% Verlust pro Sekunde
Berechnung:
\[t = \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}98)} \approx 34{,}31\]
HWZ: 34,31 Sekunden
Rechen-Tipps
- Regel von 70: Näherung t ≈ 70/d
- Perioden: Können beliebige Zeiteinheiten sein
- Mehrfach: Nach n× HWZ: (1/2)ⁿ übrig
- Probe: Ergebnis durch Rückrechnung prüfen
- Konstanz: HWZ ist prozessabhängig konstant
- Einheiten: Zeiteinheit = Periode konsistent