Pyramide - Formeln und Eigenschaften

Eine Pyramide ist in der Geometrie ein Polyeder, das durch die Verbindung einer polygonalen Basis mit einem Punkt (der Spitze oder Scheitelpunkt) entsteht. Jede Kante der Basis wird mit der Spitze verbunden und bildet ein dreieckiges Seitenflächenpaar. Eine Pyramide mit einer n-seitigen Grundfläche hat \(n + 1\) Eckpunkte, \(n + 1\) Flächen und \(2n\) Kanten.

Die Formeln beziehen sich auf eine gerade viereckige Pyramide mit quadratischer Basis.

Grundelemente der Pyramide

Seitenlänge \(a\)

Kantenlänge der quadratischen Basis

Höhe \(h\)

Senkrechte Entfernung von der Basis zur Spitze

Mantelhöhe \(m\)

Höhe einer dreieckigen Seitenfläche

Kantenlänge \(k\)

Abstand von Basiscke zur Pyramidenspitze

Wichtige Eigenschaften:

Die Grundfläche ist ein Polygon mit mindestens 3 Kanten
Die Seitenflächen sind Dreiecke, die sich in der Spitze treffen
Der Schwerpunkt teilt die Strecke von Basismittelpunkt zur Spitze im Verhältnis 1:3
Bei einer geraden Pyramide liegt die Spitze über dem Mittelpunkt der Basis
Eine schiefe Pyramide hat die Spitze nicht über dem Basismittelpunkt

Formeln für die Pyramide

Für eine gerade viereckige Pyramide mit Seitenlänge \(a\), Höhe \(h\), Mantelhöhe \(m\), Kantenlänge \(k\), Grundfläche \(A\), Mantelfläche \(M\) und Volumen \(V\):

Grundfläche \(A\)

Bei quadratischer Basis:

\[\displaystyle A = a^2\]

Umfang der Basis \(U\)

\[\displaystyle U = 4a\]

Seitenlänge \(a\)

Aus dem Umfang:

\[\displaystyle a = \frac{U}{4}\]

Radius zum Seitenmittelpunkt \(r_s\)

Abstand vom Basismittelpunkt zum Seitenmittelpunkt:

\[\displaystyle r_s = \frac{a}{2}\]

Radius zu einer Ecke \(r_v\)

Abstand vom Basismittelpunkt zu einer Basiscke:

\[\displaystyle r_v = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Mantelhöhe \(m\)

Höhe einer dreieckigen Seitenfläche:

\[\displaystyle m = \sqrt{h^2 + r_s^2} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Höhe \(h\)

Aus Mantelhöhe und Radius:

\[\displaystyle h = \sqrt{m^2 - r_s^2}\]

Aus Volumen und Grundfläche:

\[\displaystyle h = \frac{3V}{A}\]

Kantenlänge \(k\)

Abstand von Basiscke zur Spitze:

\[\displaystyle k = \sqrt{h^2 + r_v^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}\]

Fläche einer Seitenfläche \(M_1\)

\[\displaystyle M_1 = \frac{m \cdot a}{2}\]

Mantelfläche (ohne Basis)

Summe aller vier Seitenflächen:

\[\displaystyle M = \frac{m \cdot U}{2} = \frac{m \cdot 4a}{2} = 2ma\]

Oder:

\[\displaystyle M = 4 \cdot M_1 = 4 \cdot \frac{m \cdot a}{2} = 2ma\]

Gesamtoberfläche

Mantelfläche plus Grundfläche:

\[\displaystyle S = M + A = 2ma + a^2\]

Volumen

\[\displaystyle V = \frac{A \cdot h}{3} = \frac{a^2 \cdot h}{3}\]

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Volumen und Mantelfläche

Gegeben: \(a = 10\,\text{cm}\), \(h = 12\,\text{cm}\)

\[\displaystyle r_s = \frac{a}{2} = 5\,\text{cm}\]

\[\displaystyle m = \sqrt{h^2 + r_s^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\]

\[\displaystyle V = \frac{a^2 \cdot h}{3} = \frac{10^2 \cdot 12}{3} = \frac{1200}{3} = 400\,\text{cm}^3\]

\[\displaystyle M = 2ma = 2 \cdot 13 \cdot 10 = 260\,\text{cm}^2\]

Beispiel 2: Kantenlänge berechnen

Gegeben: \(a = 8\,\text{cm}\), \(h = 10\,\text{cm}\)

\[\displaystyle r_v = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66\,\text{cm}\]

\[\displaystyle k = \sqrt{h^2 + r_v^2} = \sqrt{10^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 32} = \sqrt{132} \approx 11.49\,\text{cm}\]

Beispiel 3: Mantelhöhe aus Volumen

Gegeben: \(a = 6\,\text{cm}\), \(V = 120\,\text{cm}^3\)

\[\displaystyle h = \frac{3V}{A} = \frac{3 \cdot 120}{6^2} = \frac{360}{36} = 10\,\text{cm}\]

\[\displaystyle m = \sqrt{h^2 + r_s^2} = \sqrt{10^2 + 3^2} = \sqrt{109} \approx 10.44\,\text{cm}\]

Beispiel 4: Gesamtoberfläche

Mit Werten aus Beispiel 1 (\(a = 10\,\text{cm}\), \(m = 13\,\text{cm}\)):

\[\displaystyle A = a^2 = 100\,\text{cm}^2\]

\[\displaystyle S = 2ma + a^2 = 260 + 100 = 360\,\text{cm}^2\]

Wichtige Beziehungen

Geometrische Zusammenhänge:

Mantelhöhe, Höhe und Seitenmittelpunkt-Radius: \(m^2 = h^2 + r_s^2\)
Kantenlänge, Höhe und Ecken-Radius: \(k^2 = h^2 + r_v^2\)
Das Volumen einer Pyramide ist genau ein Drittel eines Prismas mit gleicher Basis und Höhe
Der Schwerpunkt liegt auf der Strecke vom Basismittelpunkt zur Spitze im Verhältnis 1:3
Die Mantelfläche ist die Summe aller vier dreieckigen Seitenflächen

Zusammenfassung

Definition

Polyeder mit polygonaler Basis und einer Spitze

Volumen

\[\displaystyle V = \frac{a^2 h}{3}\]

Mantelfläche

\[\displaystyle M = 2ma\]

Oberfläche

\[\displaystyle S = 2ma + a^2\]

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