Kugel

Definition, Eigenschaften und Formeln zur Berechnung einer Kugel

Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, der durch eine unendliche Anzahl von Punkten begrenzt wird, die vom Mittelpunkt im gleichen Abstand voneinander im dreidimensionalen Raum liegen. Sie ist die dreidimensionale Verallgemeinerung eines Kreises.

Die Kugel ist die einzige Oberfläche, die in alle Richtungen symmetrisch ist und hat fundamental wichtige Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen, Astronomie und vielen anderen Bereichen.

Grundelemente der Kugel

Mittelpunkt

Der zentrale Punkt, von dem alle Oberflächenpunkte den gleichen Abstand haben

Radius

Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche

Durchmesser

Größter Abstand zwischen zwei Oberflächenpunkten, verläuft durch den Mittelpunkt

Oberfläche

Die gesamte äußere Fläche der Kugel

Wichtige Eigenschaften:
  • Die Kugel ist völlig symmetrisch - drehsymmetrisch um jede Achse durch den Mittelpunkt
  • Jeder Schnitt durch den Mittelpunkt ergibt einen Großkreis (Kreis mit maximalen Radius)
  • Schnitte nicht durch den Mittelpunkt ergeben Kleinkreise
  • Alle Punkte auf der Oberfläche haben gleichen Abstand vom Mittelpunkt

Visualisierung

Kugel mit Radius und Durchmesser

Kugel mit Mittelpunkt, Radius und Durchmesser

Formeln für die Kugel

Für eine Kugel mit Radius \(r\), Durchmesser \(d\), Oberfläche \(A\), Umfang \(U\) und Volumen \(V\):

Radius

\[\displaystyle r = \frac{d}{2}\]

Aus Oberfläche:

\[\displaystyle r = \sqrt{\frac{A}{4\pi}}\]

Aus Volumen:

\[\displaystyle r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\]

Durchmesser

\[\displaystyle d = 2r\]

Aus Oberfläche:

\[\displaystyle d = 2\sqrt{\frac{A}{4\pi}} = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\]

Oberfläche

Mit Radius:

\[\displaystyle A = 4\pi r^2\]

Mit Durchmesser:

\[\displaystyle A = \pi d^2\]

Aus Volumen:

\[\displaystyle A = \left(36\pi V^2\right)^{1/3}\]

Umfang (Großkreis)

Mit Radius:

\[\displaystyle U = 2\pi r\]

Mit Durchmesser:

\[\displaystyle U = \pi d\]

Volumen

Mit Radius:

\[\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Mit Durchmesser:

\[\displaystyle V = \frac{\pi d^3}{6}\]

Schnittfläche (Kleinkreis in Abstand h vom Mittelpunkt)

\[\displaystyle A_{\text{Schnitt}} = \pi(r^2 - h^2)\]

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Volumen und Oberfläche mit gegebenem Radius

Gegeben: \(r = 10\,\text{cm}\)

\[\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4000\pi}{3} \approx 4188.79\,\text{cm}^3\]
\[\displaystyle A = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 10^2 = 400\pi \approx 1256.64\,\text{cm}^2\]

Beispiel 2: Radius aus Volumen berechnen

Gegeben: \(V = 1000\,\text{cm}^3\)

\[\displaystyle r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{3000}{4\pi}} = \sqrt[3]{238.73} \approx 6.20\,\text{cm}\]

Beispiel 3: Durchmesser aus Oberfläche berechnen

Gegeben: \(A = 500\,\text{cm}^2\)

\[\displaystyle d = \sqrt{\frac{A}{\pi}} = \sqrt{\frac{500}{\pi}} = \sqrt{159.15} \approx 12.62\,\text{cm}\]

Wichtige Besonderheiten

Eigenschaften der Kugel:
  • Die Kugel hat die maximale Oberfläche für ein gegebenes Volumen unter allen geometrischen Körpern
  • Die Oberfläche einer Kugel ist genau 4 mal so groß wie ein Großkreis
  • Das Volumen einer Kugel entspricht dem von zwei Kegeln mit Radius \(r\) und Höhe \(2r\)
  • Alle Kugelschnitte durch den Mittelpunkt ergeben gleich große Kreise mit Radius \(r\)

Zusammenfassung

Definition

Alle Punkte mit gleichen Abstand vom Mittelpunkt im 3D-Raum

Oberfläche

\[\displaystyle A = 4\pi r^2\]

Volumen

\[\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Durchmesser

\[\displaystyle d = 2r\]

Kugel


Kugel
Kugelring
Kugelsegment
Kugelsektor
Kegel
Pyramide













Ist diese Seite hilfreich?            
Vielen Dank für Ihr Feedback!

Das tut uns leid

Wie können wir die Seite verbessern?