Bruch kürzen

Vereinfachung von Brüchen durch größten gemeinsamen Teiler

Bruch Kürzungs-Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion kürzt einen Bruch auf seine einfachste Form. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Zähler und Nenner wird ermittelt und beide werden durch ihn geteilt. Optional kann eine ganze Zahl angegeben werden.

Bruch eingeben
Beispiel: 12/15 = 4/5
Gekürzter Bruch
Bruch wird auf seine einfachste Form gekürzt

Bruch Kürzung Info

Eigenschaften

Bruch Kürzung Regeln:

ggT finden Zähler & Nenner teilen Vollständig kürzen Teilerfremd

Hinweis: Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind (ggT = 1).

Beispiele
Einfach: ⁶⁄₈ = ³⁄₄
Groß: ²⁴⁄₃₆ = ²⁄₃
Gemischt: 2¹²⁄₁₅ = 2⁴⁄₅
Bereits gekürzt: ³⁄₅ = ³⁄₅

Formeln & Regeln der Bruchkürzung

Grundprinzip
\[\frac{a}{b} = \frac{a \div d}{b \div d}\] d = ggT(a,b)
Größter gemeinsamer Teiler
\[\text{ggT}(a,b)\] Euklidischer Algorithmus
Vollständig gekürzt
\[\text{ggT}(a,b) = 1\] Zähler und Nenner teilerfremd
Werterhaltung
\[\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\] Gleichwertigkeit bleibt erhalten
Gemischte Zahlen
\[n\frac{a}{b} = n\frac{a'}{b'}\] Nur Bruchanteil wird gekürzt
Euklidischer Algorithmus
\[\text{ggT}(a,b) = \text{ggT}(b, a \bmod b)\] Rekursive Berechnung
Negative Brüche
\[\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\] Vorzeichen bleibt erhalten
Primfaktorzerlegung
\[a = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots\] Alternative Methode

Schritt-für-Schritt Beispiel

Beispiel: ¹²⁄₁₅ kürzen
Schritt 1: ggT von 12 und 15 finden
\[\text{ggT}(12, 15)\] Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Teiler von 15: 1, 3, 5, 15
Gemeinsame Teiler: 1, 3
\[\text{ggT}(12, 15) = 3\]

Der größte gemeinsame Teiler ist 3.

Schritt 2: Zähler und Nenner durch ggT teilen
\[\frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}\]
Schritt 3: Überprüfung
\[\text{ggT}(4, 5) = 1\] Der Bruch ist vollständig gekürzt.
Schritt 4: Ergebnis
\[\frac{12}{15} = \color{blue}{\frac{4}{5}}\]
Weitere Beispiele
Einfache Kürzung:
\[\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\] (ggT = 2)
Große Zahlen:
\[\frac{24}{36} = \frac{2}{3}\] (ggT = 12)
Bereits gekürzt:
\[\frac{7}{11} = \frac{7}{11}\] (ggT = 1)
Euklidischer Algorithmus
Für ggT(12, 15):
15 = 1 × 12 + 3
12 = 4 × 3 + 0
→ ggT = 3
Negative gemischte Zahl
\[-2\frac{2}{3}\] wird interpretiert als \[-(2\frac{2}{3})\]
Das Vorzeichen gilt für den gesamten Wert.
Schritte der Bruchkürzung
1. ggT ermitteln
2. Zähler teilen
3. Nenner teilen
4. Überprüfen

Der größte gemeinsame Teiler bestimmt, um wie viel gekürzt werden kann.

Anwendungen der Bruchkürzung

Bruchkürzung ist in vielen mathematischen und praktischen Bereichen wichtig:

Vereinfachung von Rechnungen
  • Einfachere Zahlen zum Rechnen
  • Geringere Fehlerwahrscheinlichkeit
  • Schnellere Kopfrechnungen
  • Klarere Darstellung
Verhältnisse & Proportionen
  • Mischungsverhältnisse
  • Rezept-Proportionen
  • Skalierungen
  • Wahrscheinlichkeiten
Mathematische Bildung
  • Verstehen von Äquivalenz
  • Zahlentheorie-Grundlagen
  • Algorithmus-Verständnis
  • Bruchrechnung-Basis
Technische Anwendungen
  • Getriebe-Übersetzungen
  • Frequenz-Verhältnisse
  • Material-Mischungen
  • CAD-Konstruktionen

Mathematischer Kontext

Beschreibung

Die Bruchkürzung ist ein fundamentales Konzept der Zahlentheorie und Algebra. Sie basiert auf dem größten gemeinsamen Teiler und dem Prinzip der Äquivalenz rationaler Zahlen. Durch Kürzung entstehen einfachere, aber gleichwertige Darstellungen. Der Euklidische Algorithmus zur ggT-Berechnung ist einer der ältesten bekannten Algorithmen und zeigt die elegante Verbindung zwischen praktischer Anwendung und theoretischer Mathematik.

Zusammenfassung

Bruchkürzung ist mehr als nur eine Rechenregel – sie ist ein Werkzeug zur Vereinfachung und zur tieferen Einsicht in die Struktur rationaler Zahlen. Sie lehrt uns über Teilbarkeit, Primzahlen und Äquivalenzklassen. Von praktischen Anwendungen in Handwerk und Technik bis hin zu abstrakten mathematischen Theorien zeigt die Bruchkürzung die Schönheit und Nützlichkeit mathematischen Denkens in seiner reinsten Form.

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