Dezimalzahl in Bruch umrechnen

Umwandlung von Dezimalzahlen in ihre exakte Bruchdarstellung

Dezimal zu Bruch Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion rechnet eine Dezimalzahl in einen Bruch um. Die Dezimalzahl wird analysiert und in ihre exakte Bruchdarstellung umgewandelt, wobei der Bruch automatisch vollständig gekürzt wird.

Dezimalzahl eingeben
Beispiel: 2.45 = 2 9/20 = 49/20
Bruchdarstellung
Dezimalzahl wird in gekürzten Bruch umgewandelt

Dezimal zu Bruch Info

Eigenschaften

Dezimal-Bruch Umwandlung:

Stellenwertsystem Automatisches Kürzen Exakte Darstellung Gemischte Zahlen

Hinweis: Endliche Dezimalzahlen lassen sich immer exakt als Bruch darstellen.

Beispiele
Einfach: 0.5 = ¹⁄₂
Dezimal: 0.25 = ¹⁄₄
Gemischt: 2.75 = 2³⁄₄
Komplex: 0.125 = ¹⁄₈

Formeln & Regeln der Dezimal-Bruch-Umwandlung

Grundprinzip
\[0.abc = \frac{abc}{1000}\] Stellenwertsystem nutzen
Gemischte Zahlen
\[n.abc = n + \frac{abc}{1000}\] Vor- und Nachkommateil
Kürzen
\[\frac{abc}{1000} = \frac{abc \div \text{ggT}}{1000 \div \text{ggT}}\] Vollständig kürzen
Unechter Bruch
\[n\frac{a}{b} = \frac{nb + a}{b}\] Umwandlung möglich
Eine Nachkommastelle
\[0.a = \frac{a}{10}\] Zehntel
Zwei Nachkommastellen
\[0.ab = \frac{ab}{100}\] Hundertstel
Drei Nachkommastellen
\[0.abc = \frac{abc}{1000}\] Tausendstel
Negative Zahlen
\[-n.abc = -\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\] Vorzeichen übertragen

Schritt-für-Schritt Beispiel

Beispiel: 2.45 in Bruch umwandeln
Schritt 1: Nachkommateil als Bruch schreiben
\[2.45 = 2 + 0.45 = 2 + \frac{45}{100}\] \[= 2\frac{45}{100}\]

0.45 = 45 Hundertstel = 45/100

Schritt 2: Bruch kürzen
\[\frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}\] \[2\frac{45}{100} = 2\frac{9}{20}\]

ggT(45, 100) = 5, daher durch 5 kürzen.

Schritt 3: Optional - Als unechten Bruch darstellen
\[2\frac{9}{20} = \frac{2 \times 20 + 9}{20} = \frac{40 + 9}{20} = \frac{49}{20}\]
Schritt 4: Ergebnis
\[2.45 = 2\frac{9}{20} = \color{blue}{\frac{49}{20}}\]
Weitere Beispiele
Einfach:
\[0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\]
Viertel:
\[0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\]
Achtel:
\[0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}\]
Gemischt:
\[3.75 = 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}\]
Stellenwerttabelle
Dezimalstellen:
• 1 Stelle: Zehntel (÷ 10)
• 2 Stellen: Hundertstel (÷ 100)
• 3 Stellen: Tausendstel (÷ 1000)
• n Stellen: ÷ 10ⁿ
Periodische Dezimalzahlen
Periodische Dezimalzahlen wie 0.333... = ¹⁄₃ erfordern spezielle Techniken und sind hier nicht abgedeckt.
Schritte der Dezimal-Bruch-Umwandlung
1. Nachkomma als Bruch
2. ggT finden
3. Vollständig kürzen
4. Optional umformen

Das Stellenwertsystem ist der Schlüssel zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche.

Anwendungen der Dezimal-Bruch-Umwandlung

Dezimal-Bruch-Umwandlung ist in vielen Bereichen nützlich:

Präzise Messungen
  • Exakte Maßangaben
  • Maschinenbau-Toleranzen
  • Wissenschaftliche Messungen
  • Handwerk und Bauwesen
Küche & Rezepte
  • Rezept-Umrechnungen
  • Portionsgrößen anpassen
  • Zutaten-Verhältnisse
  • Back- und Kochmengen
Mathematische Bildung
  • Zahlenverständnis entwickeln
  • Bruchrechnung verstehen
  • Stellenwertsystem lernen
  • Exakte vs. Näherungsrechnung
Technik & Programmierung
  • Getriebe-Übersetzungen
  • Algorithmus-Entwicklung
  • Digitale Signalverarbeitung
  • CAD-Anwendungen

Mathematischer Kontext

Beschreibung

Die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche nutzt das Stellenwertsystem und zeigt die fundamentale Beziehung zwischen verschiedenen Zahlendarstellungen. Endliche Dezimalzahlen entsprechen rationalen Zahlen mit Nennern aus Zehnerpotenzen. Der Kürzungsprozess durch den größten gemeinsamen Teiler führt zur einfachsten Bruchform und offenbart die wahre mathematische Struktur der Zahl.

Zusammenfassung

Dezimal-Bruch-Umwandlung verbindet das praktische Dezimalsystem mit der exakten Bruchdarstellung rationaler Zahlen. Sie zeigt, wie verschiedene Zahlensysteme dieselben mathematischen Wahrheiten ausdrücken können. Diese Umwandlung ist essentiell für präzise Berechnungen, mathematisches Verständnis und die Brücke zwischen alltäglicher Anwendung und theoretischer Mathematik. Sie verdeutlicht die Eleganz und Konsistenz des mathematischen Gefüges.

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