Verhältnis Rechner

Rechner für Verhältnisse und Dreisatz mit mathematischen Grundlagen

Verhältnis und Dreisatz Rechner

Was wird berechnet?

Dieser Rechner löst Verhältnisgleichungen durch Kreuzprodukt-Methode. Geben Sie drei bekannte Werte ein, und der vierte unbekannte Wert wird automatisch berechnet.

Verhältnisgleichung eingeben

:

: x

Lösung der Verhältnisgleichung
x =
Berechnungsformel: x = (b × c) ÷ a
Die Lösung wurde durch Kreuzprodukt-Methode berechnet

Verhältnis-Rechner Info

Proportionale Beziehungen

Der Rechner löst Proportionen:

  • a : b = c : x
  • Drei Werte bekannt → x berechnen
  • Verhältnisse bleiben gleich
  • Kreuzprodukt-Methode

Dreisatz: Das ist die klassische Dreisatz-Berechnung in mathematischer Form.

Schnelle Beispiele
2:3 = 4:x
x = 6 (doppelte Werte)
5:10 = 3:x
x = 6 (halbe Verhältnisse)
1:4 = x:20
x = 5 (ein Viertel)
16:9 = 1920:x
x = 1080 (Skalierung)
Kreuzprodukt

a : b = c : x wird gelöst durch:
a × x = b × c
Daher: x = (b × c) ÷ a


Mathematische Formeln für Verhältnisse

Verhältnisgleichung
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{x}\] Grundform der Proportion
Kreuzprodukt
\[a \cdot x = b \cdot c\] Multiplikation über Kreuz
Lösung für x
\[x = \frac{b \cdot c}{a}\] Auflösung nach der Unbekannten
Allgemeine Form
\[a:b = c:d \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c\] Kreuzprodukt-Eigenschaft
Dreisatz direkt
\[\text{Wenn } a \rightarrow b, \text{ dann } c \rightarrow \frac{b \cdot c}{a}\] Klassischer Dreisatz
Prozentuelle Änderung
\[\frac{x}{c} = \frac{b}{a} \Rightarrow \text{Faktor } = \frac{b}{a}\] Skalierungsfaktor

Schritt-für-Schritt Beispiel

Beispiel: 1920:1080 = 1200:x lösen

1Verhältnisgleichung aufstellen

\[\frac{1920}{1080} = \frac{1200}{x}\]

Proportion als Bruchgleichung

2Kreuzprodukt bilden

1920 × x = 1080 × 1200
1920 × x = 1,296,000

3Nach x auflösen

\[x = \frac{1080 \times 1200}{1920} = \frac{1,296,000}{1920} = \color{blue}{675}\]

Ergebnis: x = 675

4Probe

\[\frac{1920}{1080} = 1.778... \quad \text{und} \quad \frac{1200}{675} = 1.778...\]

Beide Verhältnisse sind gleich ✓

Der klassische Dreisatz

Dreisatz-Schema
Schritt 1: Bekanntes Verhältnis
\[a \rightarrow b\]

a führt zu b

Schritt 2: Neuer Ausgangswert
\[c \rightarrow ?\]

c führt zu was?

Schritt 3: Verhältnismäßige Berechnung
\[c \rightarrow \frac{b \cdot c}{a}\]

Proportionale Berechnung

Praktisches Beispiel
Gegeben: 3 Äpfel kosten 2€
\[3 \text{ Äpfel} \rightarrow 2€\]
Gesucht: Was kosten 5 Äpfel?
\[5 \text{ Äpfel} \rightarrow ?€\]
Lösung: Verhältnisberechnung
\[\frac{2€ \times 5}{3} = \frac{10€}{3} ≈ 3.33€\]

Praktische Anwendungen

Rezepte skalieren

Beispiel: Kuchenrezept

Für 4 Personen: 200g Mehl
Für 6 Personen: x g Mehl

\[4:200 = 6:x\] \[x = \frac{200 \times 6}{4} = 300g\]
Geschwindigkeit und Zeit

Beispiel: Autofahrt

100 km in 2 Stunden
150 km in x Stunden

\[100:2 = 150:x\] \[x = \frac{2 \times 150}{100} = 3h\]
Währungsumrechnung

1 Dollar = 0.85 Euro
50 Dollar = x Euro
x = 50 × 0.85 = 42.50 Euro

Maßstabsberechnungen

Karte 1:50.000
2 cm auf Karte = x m in Realität
x = 2 × 50.000 = 100.000 cm = 1 km

Arten von Verhältnissen

Direktes Verhältnis

Beide Werte ändern sich in die gleiche Richtung

\[\text{Mehr A} \rightarrow \text{Mehr B}\]

Beispiel: Mehr Zeit → Mehr Strecke

Umgekehrtes Verhältnis

Werte ändern sich entgegengesetzt

\[\text{Mehr A} \rightarrow \text{Weniger B}\]

Beispiel: Mehr Geschwindigkeit → Weniger Zeit

Zusammengesetztes Verhältnis

Mehrere Verhältnisse kombiniert

\[a:b \text{ und } b:c \Rightarrow a:c\]

Beispiel: Mehrstufige Umrechnungen

Mathematische Grundlagen

Proportionalität

Proportionale Beziehungen beschreiben konstante Verhältnisse zwischen Größen. Wenn sich eine Größe ändert, ändert sich die andere proportional dazu. Das Kreuzprodukt ist dabei immer konstant.

Historische Bedeutung

Der Dreisatz ist eine der ältesten mathematischen Methoden und war bereits im alten Ägypten bekannt. Er ist fundamental für Handel, Handwerk und wissenschaftliche Berechnungen.

Wichtige Eigenschaften
  • Linearität: Verdopplung führt zu Verdopplung
  • Transitivität: a:b und b:c ergeben a:c
  • Umkehrbarkeit: a:b entspricht b⁻¹:a⁻¹
  • Skalierung: Verhältnisse sind skaleninvariant




Weitere Verhältnis Funktionen

Bruch in Verhältnis umrechnen  •  Dezimalzahl in Verhältnis umrechnen  •  Seitenverhältnis  •  Verhältnis in Bruch umrechnen  •  Verhältnis in Dezimalzahl umrechnen  •  Verhältnis kürzen  •  Verhältnis Rechner  •  Verhältnis skalieren  •  Verhältnis vergleichen  •