Verhältnis skalieren

Rechner und Formel zum Skalieren von Verhältnissen mit mathematischen Grundlagen

Verhältnis-Skalierungs Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion skaliert ein Verhältnis um einen bestimmten Faktor. Beide Seiten des Verhältnisses werden mit dem gleichen Wert multipliziert, wodurch die proportionale Beziehung erhalten bleibt.

Verhältnis und Skalierungsfaktor eingeben

:
Original-Verhältnis

Multiplikator

Skaliertes Verhältnis
Original
:
→
Skaliert
:
Das Verhältnis wurde proportional um den angegebenen Faktor skaliert

Skalierung Info

Skalierungsprinzip

Die Skalierung erfolgt proportional:

  • a : b → (a×k) : (b×k)
  • Beide Seiten mit k multipliziert
  • Verhältnis bleibt gleich
  • Form ändert sich nicht

Wichtig: Der Skalierungsfaktor beeinflusst die Größe, aber nicht das Verhältnis der Werte zueinander.

Skalierungstypen
k > 1: Vergrößerung
z.B. k=2 → doppelte Größe
k = 1: Keine Änderung
Original bleibt gleich
0 < k < 1: Verkleinerung
z.B. k=0.5 → halbe Größe
k < 0: Umkehrung
Richtungsänderung
Anwendungsbeispiele

Technische Zeichnungen: Maßstab ändern
Rezepte: Portionsgrößen anpassen
Modellbau: Größenverhältnisse

Mathematische Formeln für Verhältnis-Skalierung

Grundformel
\[a:b \xrightarrow{k} (a \cdot k):(b \cdot k)\] Proportionale Skalierung
Einzelne Komponenten
\[a' = a \cdot k, \quad b' = b \cdot k\] Skalierte Werte
Verhältnis-Invarianz
\[\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} = \frac{a'}{b'}\] Verhältnis bleibt gleich
Umkehrung
\[a':b' \xrightarrow{1/k} a:b\] Rückskalierung
Verkettung
\[a:b \xrightarrow{k_1} \xrightarrow{k_2} (a \cdot k_1 \cdot k_2):(b \cdot k_1 \cdot k_2)\] Mehrfache Skalierung
Dezimalfaktor
\[k = 0.5 \Rightarrow a':b' = \frac{a}{2}:\frac{b}{2}\] Verkleinerung um Faktor 2

Schritt-für-Schritt Beispiel

Beispiel: 4:6 mit Faktor 2.5 skalieren

1Erstes Element skalieren

\[a' = a \times k = 4 \times 2.5 = 10\]

Erste Komponente multipliziert

2Zweites Element skalieren

b' = b × k = 6 × 2.5 = 15

Zweite Komponente multipliziert

3Skaliertes Verhältnis

\[4:6 \xrightarrow{2.5} \color{blue}{10:15}\]

Ergebnis: Das skalierte Verhältnis ist 10:15

4Verhältnis-Verifikation

\[\frac{4}{6} = \frac{2}{3} ≈ 0.667 \quad \text{und} \quad \frac{10}{15} = \frac{2}{3} ≈ 0.667\]

Verhältnis bleibt gleich ✓

Verschiedene Skalierungsfaktoren

Vergrößerung (k > 1)
k = 2: Doppelte Größe
\[3:4 \xrightarrow{2} 6:8\]
k = 3.5: 3.5-fache Größe
\[2:5 \xrightarrow{3.5} 7:17.5\]
k = 10: Zehnfache Größe
\[1:3 \xrightarrow{10} 10:30\]
Verkleinerung (0 < k < 1)
k = 0.5: Halbe Größe
\[8:12 \xrightarrow{0.5} 4:6\]
k = 0.25: Viertel Größe
\[20:16 \xrightarrow{0.25} 5:4\]
k = 0.1: Zehntel Größe
\[100:50 \xrightarrow{0.1} 10:5\]

Praktische Anwendungen

Rezepte anpassen

Beispiel: Kuchenrezept für mehr Personen

Original: 2:3 (Mehl:Zucker für 4 Personen)
Für 10 Personen: Faktor = 10/4 = 2.5

\[2:3 \xrightarrow{2.5} 5:7.5\]

5 Teile Mehl, 7.5 Teile Zucker

Technische Zeichnungen

Beispiel: Maßstab ändern

Zeichnung 1:100 → 1:50 (doppelt so groß)
Faktor = 2

\[20:30 \text{ mm} \xrightarrow{2} 40:60 \text{ mm}\]

Alle Maße verdoppeln sich

Bildbearbeitung

Bildgröße ändern: 1920:1080 → 960:540
Skalierungsfaktor: 0.5 (Halbierung)

Modellbau

Reales Flugzeug: 30:20 m (Länge:Spannweite)
Modell 1:72: Faktor = 1/72 ≈ 0.0139

Besondere Fälle

Faktor = 0
\[a:b \xrightarrow{0} 0:0\]

Kollaps zu Nullverhältnis
(mathematisch undefiniert)

Negativer Faktor
\[4:6 \xrightarrow{-1.5} -6:-9\]

Vorzeichen umkehren
Richtung ändern

Faktor = 1
\[a:b \xrightarrow{1} a:b\]

Identitätstransformation
Keine Änderung

Mathematische Grundlagen

Ähnlichkeitstransformation

Die Skalierung ist eine spezielle Art der geometrischen Transformation, die als Ähnlichkeitstransformation bekannt ist. Sie verändert die Größe, aber nicht die Form oder die proportionalen Verhältnisse.

Lineare Transformation

Skalierung ist eine lineare Operation: f(x) = k·x. Diese Eigenschaft macht sie besonders nützlich in der Mathematik, da sie mit anderen linearen Operationen kombiniert werden kann.

Wichtige Eigenschaften
  • Homogenität: Alle Komponenten gleich skaliert
  • Reversibilität: Durch 1/k umkehrbar
  • Kommutativität: k₁ × k₂ = k₂ × k₁
  • Proportionalität: Verhältnisse bleiben erhalten

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