Verhältnis kürzen

Rechner und Formel zur Kürzung von Verhältnissen mit dem Euklidischen Algorithmus

Verhältnis-Kürzung Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion kürzt ein Verhältnis auf die kleinsten ganzen Zahlen. Dabei wird der größte gemeinsame Teiler (ggT) mit dem Euklidischen Algorithmus berechnet und beide Seiten durch diesen geteilt.

Verhältnis eingeben

:
Beispiele: 1920:1080, 50:120, 24:36
Gekürztes Verhältnis
Original
:
→
Gekürzt
:
Das Verhältnis wurde auf die kleinsten ganzen Zahlen reduziert

Verhältnis-Kürzung Info

Kürzungsprozess

Die Kürzung erfolgt in drei Schritten:

  1. Größten gemeinsamen Teiler finden
  2. Beide Zahlen durch ggT teilen
  3. Gekürzte Form ausgeben

Warum kürzen? Gekürzte Verhältnisse sind einfacher zu verstehen und zu verwenden.

Schnelle Beispiele
12:16 = 3:4
ggT = 4
50:75 = 2:3
ggT = 25
100:150 = 2:3
ggT = 50
7:14 = 1:2
ggT = 7
Euklidischer Algorithmus

Der Euklidische Algorithmus ist das effizienteste Verfahren zur Berechnung des ggT.
Prinzip: ggT(a,b) = ggT(b, a mod b)

Mathematische Formeln für Verhältnis-Kürzung

Kürzungsformel
\[\frac{a}{b} = \frac{a \div \gcd(a,b)}{b \div \gcd(a,b)}\] Verhältnis kürzen
Euklidischer Algorithmus
\[\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)\] Rekursive Definition
ggT-Eigenschaften
\[\gcd(a,b) = \gcd(b,a) = \gcd(|a|,|b|)\] Symmetrie und Vorzeichen
Teilerfremdheit
\[\gcd(a,b) = 1 \Leftrightarrow \text{teilerfremd}\] Bereits vollständig gekürzt
Vertauschung
\[a:b = \frac{a}{b}, \quad b:a = \frac{b}{a}\] Umkehrung des Verhältnisses
Erweitern
\[a:b = (a \cdot k):(b \cdot k)\] Verhältnis erweitern

Ausführliches Beispiel: Euklidischer Algorithmus

Beispiel: 1920:1080 kürzen

1Euklidischen Algorithmus anwenden

gcd(1920, 1080):
1920 ÷ 1080 = 1 R 840
1080 ÷ 840 = 1 R 240
840 ÷ 240 = 3 R 120
240 ÷ 120 = 2 R 0

ggT = 120

2Durch ggT teilen

\[\frac{1920 \div 120}{1080 \div 120} = \frac{16}{9}\]

Beide Zahlen durch 120 teilen

1920 ÷ 120 = 16
1080 ÷ 120 = 9

3Gekürztes Verhältnis

\[1920:1080 = \color{blue}{16:9}\]

Ergebnis: Das Verhältnis 1920:1080 ist 16:9 (Widescreen-Format)

Euklidischer Algorithmus im Detail

Algorithmus-Schritte
Schritt 1: a > b? Wenn nein, vertauschen
\[\text{wenn } a < b: \gcd(a,b) = \gcd(b,a)\]
Schritt 2: Division mit Rest
\[a = b \cdot q + r, \quad 0 \leq r < b\]
Schritt 3: Rekursion oder Stopp
\[\text{wenn } r = 0: \gcd(a,b) = b\] \[\text{sonst: } \gcd(a,b) = \gcd(b,r)\]
Beispiel: gcd(48, 18)
48 = 18 × 2 + 12
gcd(48, 18) = gcd(18, 12)
18 = 12 × 1 + 6
gcd(18, 12) = gcd(12, 6)
12 = 6 × 2 + 0
gcd(12, 6) = 6

Ergebnis: 48:18 = 8:3

Weitere Kürzungsbeispiele

Einfache Beispiele
6:9 = 2:3 \[\gcd(6,9) = 3\]
20:30 = 2:3 \[\gcd(20,30) = 10\]
15:25 = 3:5 \[\gcd(15,25) = 5\]
Bildschirmauflösungen
1920:1080 = 16:9 Full HD Widescreen
1024:768 = 4:3 Klassisches Format
1440:900 = 8:5 16:10 Format
Besondere Fälle
17:23 = 17:23 Teilerfremd (ggT = 1)
100:50 = 2:1 Einfacher Teiler
12:12 = 1:1 Gleiches Verhältnis

Praktische Anwendungen

Rezepte skalieren

Beispiel: Zutaten anpassen

Original: 400g Mehl, 300g Zucker

\[400:300 = 4:3\]

Für jede 4 Teile Mehl, 3 Teile Zucker

Farben mischen

Beispiel: Farbverhältnis

75ml Rot + 45ml Blau

\[75:45 = 5:3\]

Einfacheres Mischverhältnis

Bauzeichnungen

Maßstab 1000:50 = 20:1
Vereinfacht: 1 cm entspricht 20 cm

Gewinnverteilung

Partner A: 3000€, Partner B: 2000€
Verhältnis: 3000:2000 = 3:2

Mathematische Grundlagen

Der größte gemeinsame Teiler

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte natürliche Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Er ist fundamental für das Kürzen von Brüchen und Verhältnissen.

Effizienz des Algorithmus

Der Euklidische Algorithmus ist sehr effizient und benötigt nur O(log min(a,b)) Schritte. Er wurde bereits um 300 v.Chr. von Euklid beschrieben.

Wichtige Eigenschaften
  • Eindeutigkeit: Der ggT ist eindeutig bestimmt
  • Kommutativität: gcd(a,b) = gcd(b,a)
  • Vollständige Kürzung: Ergebnis ist immer teilerfremd
  • Skalierung: Gekürzte Verhältnisse bleiben proportional

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