Verhältnisse vergleichen

Rechner und Formel zum Vergleichen von Verhältnissen mit mathematischen Grundlagen

Verhältnis-Vergleichs Rechner

Was wird berechnet?

Diese Funktion vergleicht zwei Verhältnisse durch Kreuzprodukt-Methode oder Dezimalvergleich. Das Ergebnis zeigt, welches Verhältnis größer, kleiner oder gleich dem anderen ist.

Zwei Verhältnisse eingeben

:
Erstes Verhältnis

:
Zweites Verhältnis

Vergleichsergebnis
Dezimalvergleich wird nach Berechnung angezeigt
Der Vergleich wurde durch Kreuzprodukt-Methode durchgeführt

Vergleichs-Info

Vergleichsmethoden

Zwei bewährte Methoden:

  • Kreuzprodukt: a×d vs b×c
  • Dezimalvergleich: a/b vs c/d
  • Beide Methoden äquivalent
  • Kreuzprodukt vermeidet Rundung

Tipp: Kreuzprodukt ist genauer bei großen Zahlen oder vielen Dezimalstellen.

Vergleichsoperatoren
>

Größer als
Erstes Verhältnis ist größer

<

Kleiner als
Erstes Verhältnis ist kleiner

=

Gleich
Beide Verhältnisse sind gleich

Kreuzprodukt-Regel

a:b > c:d ⟺ a×d > b×c
Multipliziere "über Kreuz" und vergleiche die Produkte

Mathematische Formeln für Verhältnis-Vergleiche

Grundvergleich
\[\frac{a}{b} \circ \frac{c}{d}\] wobei \(\circ \in \{<, =, >\}\)
Kreuzprodukt-Methode
\[a:b \circ c:d \Leftrightarrow a \cdot d \circ b \cdot c\] Kreuzweise multiplizieren
Größer-Relation
\[\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d > b \cdot c\] Wenn linkes Kreuzprodukt größer
Kleiner-Relation
\[\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d < b \cdot c\] Wenn linkes Kreuzprodukt kleiner
Gleichheit
\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c\] Kreuzprodukte sind gleich
Dezimalvergleich
\[a:b \circ c:d \Leftrightarrow \frac{a}{b} \circ \frac{c}{d}\] Division und Dezimalvergleich

Schritt-für-Schritt Beispiel

Beispiel: 3:4 mit 1:3 vergleichen

1Kreuzprodukt-Methode

3 × 3 = 9 (a × d)
4 × 1 = 4 (b × c)
Vergleiche: 9 ? 4

9 > 4, also 3:4 > 1:3

2Dezimalvergleich

\[\frac{3}{4} = 0.75\] \[\frac{1}{3} = 0.333...\]

0.75 > 0.333...

3Ergebnis

\[3:4 > 1:3\]

Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis: 3:4 ist größer als 1:3

Vergleichsmethoden im Detail

Kreuzprodukt-Methode
Vorteile:
  • Keine Rundungsfehler
  • Arbeitet mit ganzen Zahlen
  • Exakte Ergebnisse
  • Schneller bei großen Zahlen
Beispiel:
\[5:7 \text{ vs } 3:4\] \[5 \times 4 = 20, \quad 7 \times 3 = 21\] \[20 < 21 \Rightarrow 5:7 < 3:4\]
Dezimalvergleich
Vorteile:
  • Intuitiv verständlich
  • Zeigt konkrete Werte
  • Gut für Näherungen
  • Visualisiert Unterschiede
Beispiel:
\[5:7 = \frac{5}{7} ≈ 0.714\] \[3:4 = \frac{3}{4} = 0.750\] \[0.714 < 0.750\]

Weitere Vergleichsbeispiele

Einfache Vergleiche
2:3 vs 3:4 \[2 \times 4 = 8 < 3 \times 3 = 9\] \[2:3 < 3:4\]
1:2 vs 3:6 \[1 \times 6 = 6 = 2 \times 3 = 6\] \[1:2 = 3:6\]
5:4 vs 6:5 \[5 \times 5 = 25 > 4 \times 6 = 24\] \[5:4 > 6:5\]
Praktische Beispiele
Preis-Leistung
3€ für 2kg vs 5€ für 4kg
\[3:2 \text{ vs } 5:4\]
3×4 = 12 > 2×5 = 10
Erstes teurer
Geschwindigkeit
100km in 2h vs 120km in 3h
\[100:2 \text{ vs } 120:3\]
100×3 = 300 > 2×120 = 240
Erste Fahrt schneller
Grenzfälle
Sehr ähnliche Verhältnisse
\[7:10 \text{ vs } 71:101\]
7×101 = 707
10×71 = 710
\[7:10 < 71:101\]
Negative Zahlen
\[-3:4 \text{ vs } 1:-2\]
(-3)×(-2) = 6
4×1 = 4
\[-3:4 > 1:-2\]

Praktische Anwendungen

Preis-Leistungs-Vergleich

Beispiel: Supermarkt-Angebote

Produkt A: 3€ für 250g
Produkt B: 5€ für 450g

\[3:250 \text{ vs } 5:450\] \[3 \times 450 = 1350 > 250 \times 5 = 1250\]

Produkt A ist teurer pro Gramm

Effizienzvergleich

Beispiel: Arbeitsleistung

Person A: 12 Aufgaben in 3 Stunden
Person B: 20 Aufgaben in 6 Stunden

\[12:3 \text{ vs } 20:6\] \[12 \times 6 = 72 > 3 \times 20 = 60\]

Person A arbeitet effizienter

Finanzanalyse

Gewinn-Verlust-Verhältnisse vergleichen:
Unternehmen A: 100€ Gewinn, 20€ Kosten
Unternehmen B: 150€ Gewinn, 40€ Kosten

Sportstatistiken

Trefferquoten vergleichen:
Spieler A: 15 Treffer von 25 Versuchen
Spieler B: 22 Treffer von 40 Versuchen

Mathematische Grundlagen

Ordnungsrelationen

Der Vergleich von Verhältnissen basiert auf Ordnungsrelationen rationaler Zahlen. Die Kreuzprodukt-Methode nutzt die Eigenschaft, dass das Vorzeichen bei der Multiplikation mit positiven Zahlen erhalten bleibt.

Äquivalenz der Methoden

Kreuzprodukt und Dezimalvergleich sind mathematisch äquivalent. Die Kreuzprodukt-Methode vermeidet jedoch Rundungsfehler und ist bei großen Zahlen oft praktischer.

Wichtige Eigenschaften
  • Transitivität: a>b und b>c ⇒ a>c
  • Antisymmetrie: a>b ⇒ b
  • Totale Ordnung: Für alle a,b gilt ab
  • Skalierungsinvarianz: k·a:k·b = a:b für k>0

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